Решение:
Изначальное словосочетание «клетка для птиц» построено на основе управления: главное слово «клетка», зависимое — «птиц» (отвечает на вопрос «для кого/чего?»).
Чтобы заменить его синонимичным словосочетанием со связью согласование, нам нужно изменить главное слово так, чтобы оно согласовалось с определяемым словом «птиц» в роде, числе и падеже. Слово «птичий» как раз является прилагательным, которое согласуется с существительным «клетка».
Ответ: птичья клетка