9. Зависимость температуры нагревательного элемента от времени задается формулой T(t) = To + at + bt², где То = 300K, a = 64 K/мин, b = -4 K/мин². Известно, что при температуре нагревателя свыше 540К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.

Решение:

Нам дана формула зависимости температуры от времени: T(t) = T_o + at + bt².

Известные значения:

• T_o = 300K (начальная температура)
• a = 64 K/мин
• b = -4 K/мин²
• Максимальная допустимая температура = 540K

Подставим известные значения в формулу:

T(t) = 300 + 64t - 4t²

Мы знаем, что при температуре выше 540K прибор может испортиться. Следовательно, нам нужно найти время t, когда температура достигнет 540K:

540 = 300 + 64t - 4t²

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

4t² - 64t + 540 - 300 = 0

4t² - 64t + 240 = 0

Разделим все уравнение на 4 для упрощения:

t² - 16t + 60 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Можно использовать формулу дискриминанта или теорему Виета. Используем теорему Виета: найдем два числа, сумма которых равна 16, а произведение равно 60.

Такими числами являются 6 и 10.

Проверка:

• 6 + 10 = 16
• 6 * 10 = 60

Таким образом, мы получили два значения времени: t₁ = 6 минут и t₂ = 10 минут.

Эти значения означают, что прибор достигнет температуры 540K дважды: один раз на 6-й минуте (во время нагрева), и второй раз на 10-й минуте (во время остывания, если бы оно произошло, но здесь температура продолжает расти до точки кипения или момента отключения).

Вопрос задачи: «через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор». Это означает, что мы ищем максимальное значение времени, при котором температура достигает критического уровня.

Наибольшее время — это 10 минут.

Ответ: 10