90. Решите уравнение: a) 25x^3 - 9x = 0; б) x^5 - 81x = 0.

Решение:

а) 25x³ - 9x = 0

1. Вынесем общий множитель x за скобки: \( x(25x^2 - 9) = 0 \)
2. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: \( x = 0 \) или \( 25x^2 - 9 = 0 \).
3. Решим второе уравнение: \( 25x^2 = 9 \)
4. \( x^2 = \frac{9}{25} \)
5. \( x = \pm \sqrt{\frac{9}{25}} \)
6. \( x = \pm \frac{3}{5} \)

Ответ: x₁ = 0, x₂ = \(\frac{3}{5}\), x₃ = -\(\frac{3}{5}\).

б) x⁵ - 81x = 0

1. Вынесем общий множитель x за скобки: \( x(x^4 - 81) = 0 \)
2. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: \( x = 0 \) или \( x^4 - 81 = 0 \).
3. Решим второе уравнение. Заметим, что \( x^4 = (x^2)^2 \) и \( 81 = 9^2 \), поэтому это разность квадратов: \( (x^2)^2 - 9^2 = 0 \)
4. \( (x^2 - 9)(x^2 + 9) = 0 \)
5. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: \( x^2 - 9 = 0 \) или \( x^2 + 9 = 0 \).
6. Решим \( x^2 - 9 = 0 \): \( x^2 = 9 \) \( x = \pm 3 \).
7. Решим \( x^2 + 9 = 0 \): \( x^2 = -9 \). Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Ответ: x₁ = 0, x₂ = 3, x₃ = -3.