907. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии (b_n), если: 1) b₂ = 54, b₃ = 2; 2) b₂ - b₄ = 48, b₁ - b₃ = 240.

Решение:

Для нахождения суммы бесконечной геометрической прогрессии используется формула:

S = \(\frac{b_1}{1 - q}\)

где b_1 — первый член прогрессии, а q — её знаменатель.

1) Условие: b₂ = 54, b₃ = 2

1. Находим знаменатель (q):

   q = \(\frac{b_3}{b_2}\) = \(\frac{2}{54}\) = \(\frac{1}{27}\)

2. Находим первый член (b₁):

   b_2 = b_1 \(\times\) q

   54 = b_1 \(\times\) \(\frac{1}{27}\)

   b_1 = 54 \(\times\) 27 = 1458

3. Находим сумму (S):

   S = \(\frac{1458}\){1 - \(\frac{1}{27}\)} = \(\frac{1458}\){\(\frac{26}{27}\)} = 1458 \(\times\) \(\frac{27}{26}\) = \(\frac{39366}{26}\) = \(\frac{19683}{13}\)

2) Условие: b₂ - b₄ = 48, b₁ - b₃ = 240

Вспомним формулы членов геометрической прогрессии: b₂ = b₁q, b₃ = b₁q², b₄ = b₁q³.

Подставим их в уравнения:

1. Первое уравнение:

   b₁q - b₁q³ = 48

   b₁q(1 - q²) = 48 (Уравнение 1)

2. Второе уравнение:

   b₁ - b₁q² = 240

   b₁(1 - q²) = 240 (Уравнение 2)

3. Разделим Уравнение 1 на Уравнение 2:

   \(\frac{b₁q(1 - q²)}{b₁(1 - q²)}\) = \(\frac{48}{240}\)

   q = \(\frac{1}{5}\)

4. Найдем первый член (b₁), подставив q во второе уравнение:

   b₁(1 - \(\frac{1}{5}\)²) = 240

   b₁\(1 - \frac{1}{25}\) = 240

   b₁\(\frac{24}{25}\) = 240

   b₁ = 240 \(\times\) \(\frac{25}{24}\) = 10 \(\times\) 25 = 250

5. Найдем сумму (S):

   S = \(\frac{b_1}{1 - q}\) = \(\frac{250}\){1 - \(\frac{1}{5}\)} = \(\frac{250}\){\(\frac{4}{5}\)} = 250 \(\times\) \(\frac{5}{4}\) = \(\frac{1250}{4}\) = \(\frac{625}{2}\) = 312.5

Ответ: 1) \(\frac{19683}{13}\); 2) 312.5