91. Упростите выражение: а) \(\dfrac{xy}{x-y}\cdot\left(\dfrac1{y^2}-\dfrac1{x^2}\right)\); б) \(\dfrac{mn^2}{n^2-m^2}\cdot\left(\dfrac2m-\dfrac2n\right)\); в) \(\left(a-\dfrac{6a-4}{a+2}\right)\cdot\dfrac{a+2}{a^2-2a}\); г) \(\left(\dfrac{u}{u-v}-\dfrac{u}{u+v}\right)\cdot\dfrac{u^2+uv}{2v}\); д) \(\left(\dfrac{c-d}{d}+\dfrac{2c}{c-d}\right):\dfrac{c^2+d^2}{c-d}\); е) \(\left(\dfrac{a+b}{a}-\dfrac{a+b}{b}\right):\dfrac{a+b}{a^2b^2}\).

а) Приведём разность дробей к общему знаменателю и разложим разность квадратов:

\(\dfrac{xy}{x-y}\cdot\dfrac{x^2-y^2}{x^2y^2}=\dfrac{xy}{x-y}\cdot\dfrac{(x-y)(x+y)}{x^2y^2}=\dfrac{x+y}{xy}.\)

б) Разложим знаменатель на множители и сократим:

\(\dfrac{mn^2}{(n-m)(n+m)}\cdot\dfrac{2(n-m)}{mn}=\dfrac{2n}{n+m}.\)

в) Упростим выражение в скобках:

\(\left(a-\dfrac{6a-4}{a+2}\right)\cdot\dfrac{a+2}{a(a-2)}=\dfrac{a(a+2)-(6a-4)}{a+2}\cdot\dfrac{a+2}{a(a-2)}=\dfrac{(a-2)^2}{a+2}\cdot\dfrac{a+2}{a(a-2)}=\dfrac{a-2}{a}.\)

г) Сначала вычислим разность дробей:

\(\left(\dfrac{u}{u-v}-\dfrac{u}{u+v}\right)\cdot\dfrac{u(u+v)}{2v}=\dfrac{2uv}{(u-v)(u+v)}\cdot\dfrac{u(u+v)}{2v}=\dfrac{u^2}{u-v}.\)

д) Приведём сумму в скобках к общему знаменателю:

\(\left(\dfrac{(c-d)^2+2cd}{d(c-d)}\right)\cdot\dfrac{c-d}{c^2+d^2}=\dfrac{c^2+d^2}{d(c-d)}\cdot\dfrac{c-d}{c^2+d^2}=\dfrac1d.\)

е) Сначала упростим разность, затем заменим деление умножением на обратную дробь:

\(\dfrac{(a+b)(b-a)}{ab}\cdot\dfrac{a^2b^2}{a+b}=ab(b-a).\)

Ответ: а) \(\dfrac{x+y}{xy}\); б) \(\dfrac{2n}{n+m}\); в) \(\dfrac{a-2}{a}\); г) \(\dfrac{u^2}{u-v}\); д) \(\dfrac1d\); е) \(ab(b-a)\).