912. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, M — середина отрезка AO. Найдите, если это возможно, такое число k, чтобы выполнялось равенство: а) \(\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AO}\); б) \(\overrightarrow{BO}=k\overrightarrow{BD}\); в) \(\overrightarrow{OC}=k\overrightarrow{CA}\); г) \(\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{DC}\); д) \(\overrightarrow{BC}=k\overrightarrow{DA}\); е) \(\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{CA}\); ж) \(\overrightarrow{MC}=k\overrightarrow{AM}\); з) \(\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{CM}\); и) \(\overrightarrow{AO}=k\overrightarrow{BD}\).

Обозначим \(\overrightarrow{AB}=\vec b\), \(\overrightarrow{AD}=\vec d\). Тогда \(\overrightarrow{AC}=\vec b+\vec d\), а поскольку диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, \(\overrightarrow{AO}=\frac12(\vec b+\vec d)\). Точка \(M\) — середина \(AO\), поэтому \(\overrightarrow{AM}=\frac14(\vec b+\vec d)\).

1. \(\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AO}\), поэтому \(k=2\).

2. \(\overrightarrow{BO}=\frac12(\vec d-\vec b)\), а \(\overrightarrow{BD}=\vec d-\vec b\). Поэтому \(k=\frac12\).

3. \(\overrightarrow{OC}=\frac12(\vec b+\vec d)\), а \(\overrightarrow{CA}=-(\vec b+\vec d)\). Поэтому \(k=-\frac12\).

4. Противоположные стороны параллелограмма равны и сонаправлены: \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\). Поэтому \(k=1\).

5. \(\overrightarrow{BC}=\vec d\), а \(\overrightarrow{DA}=-\vec d\). Поэтому \(k=-1\).

6. \(\overrightarrow{AM}=\frac14(\vec b+\vec d)\), а \(\overrightarrow{CA}=-(\vec b+\vec d)\). Поэтому \(k=-\frac14\).

7. \(\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AM}=\frac34(\vec b+\vec d)\). Следовательно, \(\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{AM}\), поэтому \(k=3\).

8. \(\overrightarrow{CM}=-\frac34(\vec b+\vec d)\), а \(\overrightarrow{AC}=\vec b+\vec d\). Поэтому \(k=-\frac43\).

9. Вектор \(\overrightarrow{AO}=\frac12(\vec b+\vec d)\), а \(\overrightarrow{BD}=\vec d-\vec b\). В общем случае эти векторы не являются коллинеарными, поэтому такого числа \(k\) не существует.

Ответ: а) \(2\); б) \(\frac12\); в) \(-\frac12\); г) \(1\); д) \(-1\); е) \(-\frac14\); ж) \(3\); з) \(-\frac43\); и) такого числа \(k\) не существует.