915 Найти точки экстремума и значения функции в этих точках: 1) y = x³-3x²; 3) y = x + sin x; 2) y = x⁴-8x² + 3; 4) y = 2 cos x + x.

Решение:

1) \( y = x^3 - 3x^2 \)

1. Найдём производную: \( y' = 3x^2 - 6x \).


2. Приравняем производную к нулю: \( 3x^2 - 6x = 0 \) \( 3x(x - 2) = 0 \).


3. Корни производной: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 2 \).


4. Определим знаки производной на интервалах:
   • При \( x < 0 \) (например, \( x = -1 \)), \( y' = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9 > 0 \) (функция возрастает).
   • При \( 0 < x < 2 \) (например, \( x = 1 \)), \( y' = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3 < 0 \) (функция убывает).
   • При \( x > 2 \) (например, \( x = 3 \)), \( y' = 3(3)^2 - 6(3) = 27 - 18 = 9 > 0 \) (функция возрастает).


5. Точка \( x = 0 \) — максимум, точка \( x = 2 \) — минимум.


6. Вычислим значения функции в точках экстремума:
   • При \( x = 0 \), \( y = 0^3 - 3(0)^2 = 0 \).
   • При \( x = 2 \), \( y = 2^3 - 3(2)^2 = 8 - 12 = -4 \).

Ответ: Максимум в точке \( x = 0 \), значение функции \( y = 0 \). Минимум в точке \( x = 2 \), значение функции \( y = -4 \).

2) \( y = x^4 - 8x^2 + 3 \)

1. Найдём производную: \( y' = 4x^3 - 16x \).


2. Приравняем производную к нулю: \( 4x^3 - 16x = 0 \) \( 4x(x^2 - 4) = 0 \) \( 4x(x - 2)(x + 2) = 0 \).


3. Корни производной: \( x_1 = 0 \), \( x_2 = 2 \), \( x_3 = -2 \).


4. Определим знаки производной:
   • При \( x < -2 \) (например, \( x = -3 \)), \( y' = 4(-3)^3 - 16(-3) = -108 + 48 = -60 < 0 \) (убывает).
   • При \( -2 < x < 0 \) (например, \( x = -1 \)), \( y' = 4(-1)^3 - 16(-1) = -4 + 16 = 12 > 0 \) (возрастает).
   • При \( 0 < x < 2 \) (например, \( x = 1 \)), \( y' = 4(1)^3 - 16(1) = 4 - 16 = -12 < 0 \) (убывает).
   • При \( x > 2 \) (например, \( x = 3 \)), \( y' = 4(3)^3 - 16(3) = 108 - 48 = 60 > 0 \) (возрастает).


5. Точки \( x = -2 \) и \( x = 2 \) — минимумы, точка \( x = 0 \) — максимум.


6. Вычислим значения функции:
   • При \( x = -2 \), \( y = (-2)^4 - 8(-2)^2 + 3 = 16 - 32 + 3 = -13 \).
   • При \( x = 2 \), \( y = (2)^4 - 8(2)^2 + 3 = 16 - 32 + 3 = -13 \).
   • При \( x = 0 \), \( y = 0^4 - 8(0)^2 + 3 = 3 \).

Ответ: Минимум в точках \( x = -2 \) и \( x = 2 \), значение функции \( y = -13 \). Максимум в точке \( x = 0 \), значение функции \( y = 3 \).

3) \( y = x + син x \)

1. Найдём производную: \( y' = 1 + сос x \).


2. Приравняем производную к нулю: \( 1 + сос x = 0 \) \( сос x = -1 \).


3. Решение: \( x = \pi + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.


4. Определим знаки производной. Так как \( сос x ≥ -1 \), то \( y' = 1 + сос x ≥ 0 \). Производная никогда не бывает отрицательной.


5. Функция возрастает на всей области определения. Экстремумов нет.

Ответ: Экстремумов нет.

4) \( y = 2 сос x + x \)

1. Найдём производную: \( y' = -2 син x + 1 \).


2. Приравняем производную к нулю: \( -2 син x + 1 = 0 \) \( син x = \frac{1}{2} \).


3. Корни производной: \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \) и \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.


4. Определим знаки производной:
   • При \( x \) между \( \frac{\pi}{6} + 2\pi k \) и \( \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \) (например, \( x = \frac{\pi}{2} \) при \( k=0 \)), \( y' = -2 син \frac{\pi}{2} + 1 = -2(1) + 1 = -1 < 0 \) (функция убывает).
   • При \( x \) между \( \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \) и \( \frac{\pi}{6} + 2\pi (k+1) \) (например, \( x = \frac{3\pi}{2} \) при \( k=0 \)), \( y' = -2 син \frac{3\pi}{2} + 1 = -2(-1) + 1 = 3 > 0 \) (функция возрастает).


5. Точки \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \) — минимумы, точки \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \) — максимумы.


6. Вычислим значения функции в этих точках:
   • При \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \), \( y = 2 сос \left(\frac{\pi}{6}\right) + \frac{\pi}{6} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{6} = \sqrt{3} + \frac{\pi}{6} \).
   • При \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \), \( y = 2 сос \left(\frac{5\pi}{6}\right) + \frac{5\pi}{6} = 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \frac{5\pi}{6} = -\sqrt{3} + \frac{5\pi}{6} \).

Ответ: Минимум в точках \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \), значение функции \( y = \sqrt{3} + \frac{\pi}{6} \). Максимум в точках \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \), значение функции \( y = -\sqrt{3} + \frac{5\pi}{6} \), где \( k \) — целое число.