92. Докажите признаки равнобедренной трапеции. Трапеция равнобедренная, если: а) углы при основании равны; б) диагонали трапеции равны.

Пусть в трапеции ABCD основания AD и BC параллельны.

а) Если углы при основании равны, то трапеция равнобедренная.

Пусть ∠DAB = ∠CDA. Проведём через B прямую, параллельную CD, до пересечения с AD в точке E. Тогда BCDE — параллелограмм, поэтому BE = CD и ED = BC. Кроме того, AB ∥ DE, а BE ∥ CD; из равенства углов при основании следует, что треугольник ABE равнобедренный, значит AB = BE. Следовательно, AB = CD — боковые стороны трапеции равны, поэтому она равнобедренная.

б) Если диагонали трапеции равны, то трапеция равнобедренная.

Пусть AC = BD. Рассмотрим треугольники ABD и DCA: AB и CD — боковые стороны; AD — общая сторона; ∠BAD = ∠CDA, поскольку это внутренние накрест лежащие углы при AD ∥ BC? Это утверждение не следует из заданных равенств, поэтому применим сравнение треугольников ABC и DCB: AC = BD, BC — общая сторона, а ∠ACB = ∠DBC — внутренние накрест лежащие углы при параллельных AD и BC. Следовательно, треугольники ABC и DCB равны по двум сторонам и углу между ними, откуда AB = CD. Значит, трапеция равнобедренная.

Ответ: оба признака доказаны.