938 Найти наибольшее и наименьшее значения функции: 1) f(x) = x⁴ - 8x² + 5 на отрезке [-3; 2]; 2) f(x) = x + 1/x на отрезке [-2; -0,5]; 3) f(x) = sin x + cos x на отрезке [π; 3π/2]. 280 Рис. 140

Решение:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на заданном отрезке необходимо:

1. Найти производную функции.


2. Найти критические точки, приравняв производную к нулю.


3. Вычислить значения функции в критических точках, попадающих в отрезок, и на концах отрезка.


4. Сравнить полученные значения и выбрать наибольшее и наименьшее.

1) f(x) = x⁴ - 8x² + 5 на отрезке [-3; 2]

1. Производная: \( f'(x) = 4x³ - 16x \)


2. Критические точки: \( 4x³ - 16x = 0 \) → \( 4x(x² - 4) = 0 \) → \( x = 0, x = 2, x = -2 \).


3. Значения функции:
   
   
   
   • \( f(-3) = (-3)⁴ - 8(-3)² + 5 = 81 - 72 + 5 = 14 \)
   
   
   • \( f(-2) = (-2)⁴ - 8(-2)² + 5 = 16 - 32 + 5 = -11 \)
   
   
   • \( f(0) = 0⁴ - 8(0)² + 5 = 5 \)
   
   
   • \( f(2) = 2⁴ - 8(2)² + 5 = 16 - 32 + 5 = -11 \)
   
   
   
   


4. Сравнение: Наибольшее значение = 14, Наименьшее значение = -11.

2) f(x) = x + 1/x на отрезке [-2; -0,5]

1. Производная: \( f'(x) = 1 - \frac{1}{x²} \)


2. Критические точки: \( 1 - \frac{1}{x²} = 0 \) → \( x² = 1 \) → \( x = 1, x = -1 \).


3. Значения функции:
   
   
   
   • \( f(-2) = -2 + \frac{1}{-2} = -2 - 0.5 = -2.5 \)
   
   
   • \( f(-1) = -1 + \frac{1}{-1} = -1 - 1 = -2 \)
   
   
   • \( f(-0.5) = -0.5 + \frac{1}{-0.5} = -0.5 - 2 = -2.5 \)
   
   
   
   


4. Сравнение: Наибольшее значение = -2, Наименьшее значение = -2.5.

3) f(x) = sin x + cos x на отрезке [π; 3π/2]

1. Производная: \( f'(x) = cos x - sin x \)


2. Критические точки: \( cos x - sin x = 0 \) → \( cos x = sin x \) → \( tan x = 1 \). В отрезке \( [π; 3π/2] \) таких точек нет.


3. Значения функции:
   
   
   
   • \( f(π) = sin π + cos π = 0 + (-1) = -1 \)
   
   
   • \( f(3π/2) = sin (3π/2) + cos (3π/2) = -1 + 0 = -1 \)
   
   
   
   


4. Сравнение: Наибольшее значение = -1, Наименьшее значение = -1.

Ответ: 1) Наибольшее: 14, Наименьшее: -11; 2) Наибольшее: -2, Наименьшее: -2.5; 3) Наибольшее: -1, Наименьшее: -1.