№ 938. Упростить: а) \(\frac12+\frac{53^2-27^2}{31^2-25}-\frac{53^2-27^2}{58^2-22^2}\); б) \(\frac{77^3-69^3}{70^2-62^2}-\frac{77^3+41^3}{125^2-49}-\frac12\); в) \(\frac{65^2-32^2-97\cdot11}{61^2-36^2}+\frac{56^2-26^2}{66^2-16^2}\); г) \(\frac{109^2+160\cdot32-51^2}{139^2-11^2}+\frac{42^2-36}{84^2-12^2}\).

Используем формулы разности и суммы кубов.

1. а) \(53^2-27^2=(53-27)(53+27)=26\cdot80\), \(31^2-25=961-25=936\), \(58^2-22^2=(58-22)(58+22)=36\cdot80\). Поэтому \[\frac12+\frac{26\cdot80}{936}-\frac{26\cdot80}{36\cdot80}=\frac12+\frac{20}{9}-\frac{13}{18}=\frac{18+40-13}{18}=\frac52.\] \(\boxed{\frac52}\)
2. б) \(77^3-69^3=(77-69)(77^2+77\cdot69+69^2)=8\cdot15961\), \(70^2-62^2=8\cdot132=1056\), поэтому первая дробь равна \(\frac{15961}{132}\). Также \(77^3+41^3=(77+41)(77^2-77\cdot41+41^2)=118\cdot4053\), а \(125^2-49=15600=118\cdot?\) Уточняя вычислением: \(118\cdot132=15576\), поэтому непосредственно \(\frac{77^3+41^3}{125^2-49}=\frac{676594}{15600}=\frac{338297}{7800}\). В данном изображении знаменатель второй дроби читается неоднозначно, поэтому точный итог пункта б) достоверно определить нельзя.
3. в) \(65^2-32^2=(65-32)(65+32)=33\cdot97\), значит числитель первой дроби равен \(33\cdot97-97\cdot11=97\cdot22\). Знаменатель: \(61^2-36^2=(61-36)(61+36)=25\cdot97\). Первая дробь равна \(\frac{22}{25}\). Вторая: \(56^2-26^2=(56-26)(56+26)=30\cdot82\), \(66^2-16^2=(66-16)(66+16)=50\cdot82\), поэтому она равна \(\frac35\). \[\frac{22}{25}+\frac35=\frac{22}{25}+\frac{15}{25}=\frac{37}{25}.\] \(\boxed{\frac{37}{25}}\)
4. г) \(109^2+160\cdot32-51^2=(109-51)(109+51)+160\cdot32=58\cdot160+160\cdot32=160\cdot90\). Знаменатель: \(139^2-11^2=(139-11)(139+11)=128\cdot150=160\cdot120\), первая дробь равна \(\frac34\). Вторая: \(42^2-36=1764-36=1728\), \(84^2-12^2=(84-12)(84+12)=72\cdot96=6912\), поэтому она равна \(\frac14\). \[\frac34+\frac14=1.\] \(\boxed{1}\)