94. а) На рисунке 29: AC ⟂ BD, BM ⟂ BN, ∠NBC = 40°. Найдите: 1) ∠ABN; 2) ∠DBM. б) На рисунке 30: BD ⟂ AC, BM ⟂ BN. Докажите, что: 1) ∠MBD = ∠NBC; 2) ∠ABM = ∠DBN.

Question

Вопрос:

Фото задания

94. а) На рисунке 29: AC ⟂ BD, BM ⟂ BN, ∠NBC = 40°. Найдите: 1) ∠ABN; 2) ∠DBM. б) На рисунке 30: BD ⟂ AC, BM ⟂ BN. Докажите, что: 1) ∠MBD = ∠NBC; 2) ∠ABM = ∠DBN.

Accepted Answer

а)

1) Лучи BA и BC противоположны, поэтому ∠ABN и ∠NBC — смежные:

∠ABN = 180° − 40° = 140°.

2) Так как BM ⟂ BN, ∠MBN = 90°. Лучи BD и BC также перпендикулярны, поэтому ∠DBC = 90°. Из ∠NBC = 40° следует, что ∠DBN = 90° − 40° = 50°. Тогда ∠DBM = ∠MBN − ∠DBN = 90° − 50° = 40°.

Ответ: 1) 140°; 2) 40°.

б)

Пусть ∠NBC = x°. Поскольку BD ⟂ BC и BM ⟂ BN, угол между BM и BD равен углу между BN и BC: оба угла дополняют соответствующий угол до 90°. Следовательно, ∠MBD = 90° − ∠DBN, а ∠NBC = 90° − ∠DBN. Значит, ∠MBD = ∠NBC.

Кроме того, BA и BC — противоположные лучи, поэтому ∠ABM = 180° − ∠CBM. Из BM ⟂ BN получаем ∠CBM = 90° + ∠NBC, значит, ∠ABM = 90° − ∠NBC. Так как BD ⟂ BC, ∠DBN = 90° − ∠NBC. Следовательно, ∠ABM = ∠DBN.