953. Пусть X, Y и Z — произвольные точки. Докажите, что векторы $\vec p=\overrightarrow{XY}+\overrightarrow{ZX}+\overrightarrow{YZ}$, $\vec q=(\overrightarrow{XY}-\overrightarrow{XZ})+\overrightarrow{YZ}$ и $\vec r=(\overrightarrow{ZY}-\overrightarrow{XY})-\overrightarrow{ZX}$ нулевые.

Question

Вопрос: $Фото задания: 953. Пусть X, Y и Z — произвольные точки. Докажите, что векторы \(\vec…$ Фото задания

Accepted Answer

Используем правило сложения векторов по точкам:

$\overrightarrow{XY}+\overrightarrow{YZ}=\overrightarrow{XZ}$, а $\overrightarrow{ZX}=-\overrightarrow{XZ}$.

$\vec p=\overrightarrow{XY}+\overrightarrow{ZX}+\overrightarrow{YZ}=(\overrightarrow{XY}+\overrightarrow{YZ})+\overrightarrow{ZX}=\overrightarrow{XZ}+\overrightarrow{ZX}=\vec 0$.
$\vec q=(\overrightarrow{XY}-\overrightarrow{XZ})+\overrightarrow{YZ}=\overrightarrow{XY}+\overrightarrow{YZ}-\overrightarrow{XZ}=\overrightarrow{XZ}-\overrightarrow{XZ}=\vec 0$.
Так как $\overrightarrow{ZY}=-\overrightarrow{YZ}$, то
$\vec r=(\overrightarrow{ZY}-\overrightarrow{XY})-\overrightarrow{ZX}=\overrightarrow{ZY}+\overrightarrow{YX}+\overrightarrow{XZ}$.
Следовательно, $\vec r=\overrightarrow{ZY}+\overrightarrow{YX}+\overrightarrow{XZ}=\vec 0$.

Ответ: $\vec p=\vec q=\vec r=\vec 0$.