957. Выполните разложение на множители: a) 2m² - 4m + 2; б) 36 + 24x + 4x²; в) 8a³ - 8b³; г) 9ах³ + 9ay³.

Решение:

1. a) Разложим на множители выражение \( 2m^2 - 4m + 2 \).
   Вынесем общий множитель \( 2 \):
   \[ 2m^2 - 4m + 2 = 2(m^2 - 2m + 1) \]
   Выражение в скобках является полным квадратом разности \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \). В нашем случае \( a=m \) и \( b=1 \).
   \[ 2(m^2 - 2m + 1) = 2(m - 1)^2 \]
2. б) Разложим на множители выражение \( 36 + 24x + 4x^2 \).
   Это квадрат суммы \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \).
   Перепишем в стандартном виде: \( 4x^2 + 24x + 36 \).
   \( a^2 = 4x^2 \implies a = 2x \).
   \( b^2 = 36 \implies b = 6 \).
   Проверим средний член: \( 2ab = 2 \cdot 2x \cdot 6 = 24x \).
   Следовательно, выражение раскладывается как квадрат суммы:
   \[ 4x^2 + 24x + 36 = (2x + 6)^2 \]
   Можно вынести общий множитель \( 2 \) из скобки и возвести его в квадрат:
   \[ (2x + 6)^2 = (2(x+3))^2 = 4(x+3)^2 \]
3. в) Разложим на множители выражение \( 8a^3 - 8b^3 \).
   Вынесем общий множитель \( 8 \):
   \[ 8a^3 - 8b^3 = 8(a^3 - b^3) \]
   Используем формулу разности кубов \( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \>:
   \[ 8(a^3 - b^3) = 8(a - b)(a^2 + ab + b^2) \]
4. г) Разложим на множители выражение \( 9ax^3 + 9ay^3 \).
   Вынесем общий множитель \( 9a \):
   \[ 9ax^3 + 9ay^3 = 9a(x^3 + y^3) \]
   Используем формулу суммы кубов \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \>:
   \[ 9a(x^3 + y^3) = 9a(x + y)(x^2 - xy + y^2) \]

Ответ: a) \( 2(m - 1)^2 \); б) \( (2x + 6)^2 \) или \( 4(x+3)^2 \); в) \( 8(a - b)(a^2 + ab + b^2) \); г) \( 9a(x + y)(x^2 - xy + y^2) \).