96. Пересекаются ли парабола y = 2x² и прямая: а) y = 50; б) y = 100; в) y = −8; г) y = 14x − 20? Если точки пересечения существуют, то найдите их координаты.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Приравниваем уравнения: \(2x^2=50\), откуда \(x^2=25\), поэтому \(x=\pm5\). Точки пересечения: \((-5; 50)\) и \((5; 50)\).
\(2x^2=100\), значит \(x^2=50\). Полученное уравнение имеет действительные решения, \(x=\pm5\sqrt{2}\). Точки пересечения: \((-5\sqrt{2}; 100)\) и \((5\sqrt{2}; 100)\).
Так как \(2x^2\geq0\) при любом действительном \(x\), парабола не пересекает прямую \(y=-8\).
Приравниваем уравнения: \(2x^2=14x-20\), то есть \(x^2-7x+10=0\). Разложение на множители: \((x-2)(x-5)=0\), поэтому \(x=2\) или \(x=5\). Подставляем в уравнение прямой: при \(x=2\), \(y=8\); при \(x=5\), \(y=50\).

Ответ: а) (−5; 50), (5; 50); б) (−5√2; 100), (5√2; 100); в) не пересекаются; г) (2; 8), (5; 50).