96. Проведите по общей схеме исследование каждой из функций и постройте её график: а) \(f(x)=\frac1x-2\); б) \(f(x)=-(x-3)^4\).

а) \(f(x)=\frac1x-2\). Область определения: \(\mathbb R\setminus\{0\}\). График получается сдвигом графика \(y=\frac1x\) вниз на 2; асимптоты: \(x=0\) и \(y=-2\). Нуль: \(\frac1x-2=0\), поэтому \(x=\frac12\). Функция положительна при \(0<x<\frac12\) и отрицательна при \(x<0\) или \(x>\frac12\). Она убывает на каждом из промежутков \((-,0)\) и \((0,+\infty)\), поскольку \(f'(x)=-\frac1{x^2}<0\). Область значений: \(\mathbb R\setminus\{-2\}\).

б) \(f(x)=-(x-3)^4\). Область определения: \(\mathbb R\). Поскольку четвёртая степень неотрицательна, \(f(x)\leq0\); наибольшее значение равно 0 и достигается при \(x=3\). Нуль функции: \(x=3\); при остальных значениях функция отрицательна. График симметричен относительно прямой \(x=3\). Функция возрастает на \((-,3]\), убывает на \([3,+\infty)\). Область значений: \((-,0]\). Для построения удобно взять точки \((2,-1),(3,0),(4,-1)\).