961. Докажите, что для любых двух векторов $\vec{x}$ и $\vec{y}$ справедливо неравенство $|\vec{x}-\vec{y}|\leq |\vec{x}|+|\vec{y}|$. В каком случае $|\vec{x}-\vec{y}|=|\vec{x}|+|\vec{y}|$?

Question

Вопрос: $Фото задания: 961. Докажите, что для любых двух векторов $\vec{x}$ и $\vec{y}$ справедливо неравенство \(|\vec{x}-\vec{y}|\leq…$ Фото задания

961. Докажите, что для любых двух векторов $\vec{x}$ и $\vec{y}$ справедливо неравенство $|\vec{x}-\vec{y}|\leq |\vec{x}|+|\vec{y}|$. В каком случае $|\vec{x}-\vec{y}|=|\vec{x}|+|\vec{y}|$?

Accepted Answer

Представим разность как сумму: $\vec{x}-\vec{y}=\vec{x}+(-\vec{y})$.

По неравенству треугольника длина суммы векторов не превосходит суммы их длин:

\[|\vec{x}-\vec{y}|=|\vec{x}+(-\vec{y})|\leq |\vec{x}|+|{-\vec{y}}|=|\vec{x}|+|\vec{y}|.\]

Равенство в неравенстве треугольника достигается, когда векторы $\vec{x}$ и $-\vec{y}$ сонаправлены (или один из них нулевой). Значит, ненулевые $\vec{x}$ и $\vec{y}$ должны быть направлены в противоположные стороны.

Ответ: равенство выполняется, когда $\vec{x}$ и $\vec{y}$ противоположно направлены; также оно выполняется, если хотя бы один из векторов нулевой.

961. Докажите, что для любых двух векторов \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) справедливо неравенство \(|\vec{x}-\vec{y}|\leq |\vec{x}|+|\vec{y}|\). В каком случае \(|\vec{x}-\vec{y}|=|\vec{x}|+|\vec{y}|\)?

Ответ: