968. Докажите, что для любого вектора \(\vec a\) справедливы равенства: а) \(1\cdot\vec a=\vec a\); б) \((-1)\cdot\vec a=-\vec a\).

По определению умножения вектора на число длина полученного вектора равна произведению модуля числа на длину исходного вектора. При положительном множителе направление сохраняется, при отрицательном — меняется на противоположное.

1. При умножении на \(1\) длина не меняется, поскольку \(|1|=1\), а направление сохраняется. Значит, \(1\cdot\vec a=\vec a\).
2. При умножении на \(-1\) длина не меняется, поскольку \(|-1|=1\), а направление становится противоположным. Следовательно, \((-1)\cdot\vec a=-\vec a\).

Для нулевого вектора оба равенства также верны: обе их части равны нулевому вектору.