97. Постройте график функции $y=\dfrac{|x|-1}{|x|-x^2}$. Определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ не имеет с графиком ни одной общей точки.

Question

Вопрос: $Фото задания: 97. Постройте график функции $y=\dfrac{|x|-1}{|x|-x^2}$. Определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ не имеет с…$ Фото задания

97. Постройте график функции $y=\dfrac{|x|-1}{|x|-x^2}$. Определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ не имеет с графиком ни одной общей точки.

Accepted Answer

Знаменатель обращается в ноль при $x=-1,0,1$, поэтому эти значения исключены из области определения. Раскрываем модуль отдельно на двух промежутках:

При $x<0$: \[y=\frac{-x-1}{-x-x^2}=\frac1x,\qquad x\ne-1.\]
При $x>0$: \[y=\frac{x-1}{x-x^2}=-\frac1x,\qquad x\ne1.\]

График состоит из ветвей $y=\dfrac1x$ при $x<0$ и $y=-\dfrac1x$ при $x>0$; точки при $x=-1$ и $x=1$ выколоты.

На отрицательной ветви уравнение пересечения с $y=kx$ даёт $kx^2=1$. Оно имеет отрицательное решение при $k>0$, кроме $k=1$, когда единственное отрицательное решение $x=-1$ запрещено областью определения.

На положительной ветви получается $kx^2=-1$. Положительное решение существует при $k<0$, кроме $k=-1$, когда оно равно запрещённому $x=1$. При $k=0$ пересечений также нет.

Ответ: $k\in\{-1,0,1\}$.

97. Постройте график функции \(y=\dfrac{|x|-1}{|x|-x^2}\). Определите, при каких значениях \(k\) прямая \(y=kx\) не имеет с графиком ни одной общей точки.

Ответ: