970. В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны AD, точка G — середина стороны BC. Выразите векторы \(\overrightarrow{EC}\) и \(\overrightarrow{AG}\) через векторы \(\overrightarrow{DC}=\vec a\) и \(\overrightarrow{BC}=\vec b\).

Возьмём точку D за начало отсчёта. Тогда \(\overrightarrow{DC}=\vec a\), а из равенства противоположных сторон параллелограмма \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=\vec a\).

Так как \(\overrightarrow{BC}=\vec b\), то \(\overrightarrow{CB}=-\vec b\). Поэтому

\[\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}=\vec a-\vec b.\]

Следовательно, \(\overrightarrow{DA}=\vec a-\vec b\).

Точка E — середина AD, значит

\[\overrightarrow{DE}=\frac12(\vec a-\vec b).\]

Тогда

\[\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DE}=\vec a-\frac12(\vec a-\vec b)=\frac12(\vec a+\vec b).\]

Точка G — середина BC. Так как \(\overrightarrow{BG}=\frac12\vec b\), а \(\overrightarrow{AB}=\vec a\), получаем

\[\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BG}=\vec a+\frac12\vec b-(\vec a)=\frac12\vec b.\]

Ответ: \(\overrightarrow{EC}=\frac12(\vec a+\vec b)\), \(\overrightarrow{AG}=\frac12\vec b\).