97 Биссектрисы углов А и С треугольника АВС пересекаются в точке М. Найдите ∠ АВМ, если ∠ МАС = 30°, ∠ MCA = 20°. Решение. Биссектрисы треугольника пересекаются в ________ точке, следовательно, луч ВМ — ________ угла АВС, т. е. ∠ ABM = 1 — ∠ __________ . По условию задачи лучи АМ и СМ — ________ углов А и ________ , поэтому 2 ∠ A = 2 · ______ = ____ , ∠ C = 2 · ______ = ____ . Следовательно, ∠ B = 180° — (∠ ______ + ∠ ______) = 180° — (______ + ______) = ______ , значит, ∠ ABM = 1 — ∠ ______ = ____ 2 Ответ. ∠ ABM =

Дано:

• Треугольник ABC.
• AM и CM — биссектрисы углов A и C соответственно.
• ∠ MAC = 30°
• ∠ MCA = 20°

Найти: ∠ ABM

Решение:

1. Находим углы A и C:
• ∠ A = 2 · ∠ MAC = 2 · 30° = 60°
• ∠ C = 2 · ∠ MCA = 2 · 20° = 40°
2. Находим угол B: Сумма углов треугольника равна 180°.
• ∠ B = 180° - (∠ A + ∠ C) = 180° - (60° + 40°) = 180° - 100° = 80°
3. Находим угол ABM: Луч BM является биссектрисой угла B.
• ∠ ABM = ½ · ∠ B = ½ · 80° = 40°

Заполняем пропуски в тексте:

Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности точке, следовательно, луч ВМ — биссектриса угла АВС, т. е.

∠ ABM = ½ · ∠ ABC . По условию задачи лучи АМ и СМ — биссектрисы углов А и C , поэтому

∠ A = 2 · 30° = 60° , ∠ C = 2 · 20° = 40° .

Следовательно, ∠ B = 180° - (∠ A + ∠ C ) = 180° - (60° + 40°) = 80° , значит, ∠ ABM =

½ · ∠ B = 40°

Ответ. ∠ ABM = 40°