98. Разложите на множители: a) x³ + x² − x − 1; б) 16 - 4a + a³ – a4.

Решение:

Нужно разложить на множители два выражения.

1. Выражение а): \( x^3 + x^2 - x - 1 \)
   1. Сгруппируем члены: \( (x^3 + x^2) - (x + 1) \)
   2. Вынесем общий множитель из первой группы: \( x^2(x + 1) - 1(x + 1) \)
   3. Вынесем общий множитель \( (x + 1) \): \( (x + 1)(x^2 - 1) \)
   4. Разложим \( (x^2 - 1) \) как разность квадратов: \( (x + 1)(x - 1)(x + 1) \)
   5. Упростим: \( (x + 1)^2(x - 1) \)
2. Выражение б): \( 16 - 4a + a^3 - a^4 \)
   1. Сначала переставим члены, чтобы было удобнее группировать: \( a^3 - a^4 - 4a + 16 \)
   2. Сгруппируем: \( (a^3 - a^4) - (4a - 16) \)
   3. Вынесем общий множитель: \( a^3(1 - a) - 4(a - 4) \)
   4. В данном случае простое вынесение общего множителя не получается. Попробуем сгруппировать по-другому: \( (16 + a^3) - (4a + a^4) \)
   5. Это тоже не приводит к удобному разложению. Перегруппируем и вынесем общий множитель \(a\): \( 16 - 4a + a^3 - a^4 \)
   6. Сгруппируем: \( (16 - 4a) + (a^3 - a^4) \)
   7. Вынесем общий множитель из каждой группы: \( 4(4 - a) + a^3(1 - a) \)
   8. Давайте вернемся к первоначальному порядку и попробуем другую группировку: \( (16 - a^4) - (4a - a^3) \)
   9. Разложим разность квадратов \( (16 - a^4) \): \( (4 - a^2)(4 + a^2) \)
   10. Вынесем \(-a\) из второй скобки: \( -a(4 - a) \)
   11. Это тоже не дает общего множителя. Давайте попробуем сгруппировать так: \( (16 - 4a) + (a^3 - a^4) \)
   12. Вынесем \(4\) из первой скобки и \(a^3\) из второй: \( 4(4 - a) + a^3(1 - a) \)
   13. Если сгруппировать \( (16+a^3) - (4a+a^4) \), то получаем \( (16+a^3) - a(4+a^3) \).
   14. Попробуем сгруппировать так: \( (16-a^4) - (4a-a^3) \)
   15. \( (4-a^2)(4+a^2) - a(4-a) \)
   16. Давайте вернемся к: \( 16 - 4a + a^3 - a^4 \)
   17. Сгруппируем: \( (16 - a^4) + (a^3 - 4a) \)
   18. \( (4-a^2)(4+a^2) + a(a^2-4) \)
   19. \( (4-a^2)(4+a^2) - a(4-a^2) \)
   20. Вынесем общий множитель \( (4 - a^2) \): \( (4 - a^2) ( (4 + a^2) - a ) \)
   21. Разложим \( (4 - a^2) \) как разность квадратов: \( (2 - a)(2 + a)(4 + a^2 - a) \)
   22. Перепишем для удобства: \( (2 - a)(2 + a)(a^2 - a + 4) \)

Ответ:

• а) \( (x + 1)^2(x - 1) \)
• б) \( (2 - a)(2 + a)(a^2 - a + 4) \)