Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 98. Решите неравенство: \(\log_5\left(8^{\log_8(8-x)}+17^{\log_{17}(x+17)}\right)+1\geq\log_3(x^2-6x)\).Фото задания

Ответ:

  1. Найдём область допустимых значений. Из логарифмов получаем условия \(8-x>0\), \(x+17>0\) и \(x^2-6x>0\). Следовательно, \(-17<x<0\) или \(6<x<8\).

  2. Используем тождество \(a^{\log_a b}=b\): \(8^{\log_8(8-x)}=8-x\), \(17^{\log_{17}(x+17)}=x+17\). Тогда сумма в скобках равна \(25\), а левая часть неравенства — \(\log_5 25+1=3\).

  3. Так как основание логарифма \(3>1\), неравенство \(3\geq\log_3(x^2-6x)\) равносильно \(27\geq x^2-6x\). Получаем \(x^2-6x-27\leq0\), то есть \((x+3)(x-9)\leq0\), откуда \(-3\leq x\leq9\).

  4. Пересекаем это множество с ОДЗ: \([-3,9]\cap((-17,0)\cup(6,8))=[-3,0)\cup(6,8)\).

Ответ: \([-3;0)\cup(6;8)\).