985. Найдите значение выражения:

Пояснение:

Для решения применим правила действий со степенями:

• При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: $$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$
• При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: $$a^m : a^n = a^{m-n}$$
• При возведении степени в степень показатели перемножаются: $$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$

Пошаговое решение:

1. а) $$3^{-4} \cdot 3^6$$
   Складываем показатели: $$-4 + 6 = 2$$. Получаем $$3^2 = 9$$.
2. б) $$2^4 \cdot 2^{-3}$$
   Складываем показатели: $$4 + (-3) = 1$$. Получаем $$2^1 = 2$$.
3. в) $$10^8 \cdot 10^{-5} \cdot 10^{-6}$$
   Складываем показатели: $$8 + (-5) + (-6) = 8 - 5 - 6 = -3$$. Получаем $$10^{-3} = \frac{1}{1000} = 0.001$$.
4. г) $$2^{10} : 2^{12}$$
   Вычитаем показатели: $$10 - 12 = -2$$. Получаем $$2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} = 0.25$$.
5. д) $$5^{-3} : 5^{-3}$$
   Вычитаем показатели: $$-3 - (-3) = -3 + 3 = 0$$. Получаем $$5^0 = 1$$.
6. е) $$3^{-4} : 3^1$$
   Вычитаем показатели: $$-4 - 1 = -5$$. Получаем $$3^{-5} = \frac{1}{3^5} = \frac{1}{243}$$.
7. ж) $$(2^{-4})^{-1}$$
   Перемножаем показатели: $$(-4) \cdot (-1) = 4$$. Получаем $$2^4 = 16$$.
8. з) $$(5^2)^{-2} \cdot 5^3$$
   Сначала возводим степень в степень: $$(5^2)^{-2} = 5^{2 \cdot (-2)} = 5^{-4}$$.
   Затем умножаем: $$5^{-4} \cdot 5^3 = 5^{-4+3} = 5^{-1} = \frac{1}{5} = 0.2$$.
9. и) $$3^{-4} \cdot (3^{-2})^{-4}$$
   Сначала возводим степень в степень: $$(3^{-2})^{-4} = 3^{(-2) \cdot (-4)} = 3^8$$.
   Затем умножаем: $$3^{-4} \cdot 3^8 = 3^{-4+8} = 3^4 = 81$$.

Ответ:

• а) 9
• б) 2
• в) 0.001
• г) 0.25
• д) 1
• е) $$\frac{1}{243}$$
• ж) 16
• з) 0.2
• и) 81