99. Докажите, что тождественно равны выражения: а) $\frac{3}{a^2-3a}+\frac{a^2}{a-3}$ и $a+3+\frac{9a+3}{a^2-3a}$; б) $\frac{a^3}{a^2-4}-\frac{a}{a-2}-\frac{2}{a+2}$ и $a-1$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 99. Докажите, что тождественно равны выражения: а) $\frac{3}{a^2-3a}+\frac{a^2}{a-3}$ и $a+3+\frac{9a+3}{a^2-3a}$; б)…$ Фото задания

99. Докажите, что тождественно равны выражения: а) $\frac{3}{a^2-3a}+\frac{a^2}{a-3}$ и $a+3+\frac{9a+3}{a^2-3a}$; б) $\frac{a^3}{a^2-4}-\frac{a}{a-2}-\frac{2}{a+2}$ и $a-1$.

Accepted Answer

а) Область допустимых значений: $a\ne 0$, $a\ne 3$.

Приведём первое выражение к общему знаменателю:

\[\frac{3}{a^2-3a}+\frac{a^2}{a-3}=\frac{3}{a(a-3)}+\frac{a^3}{a(a-3)}=\frac{a^3+3}{a(a-3)}.\]

Преобразуем второе выражение к тому же знаменателю:

\[a+3+\frac{9a+3}{a(a-3)}=\frac{(a+3)a(a-3)+9a+3}{a(a-3)}=\frac{a^3-9a+9a+3}{a(a-3)}=\frac{a^3+3}{a(a-3)}.\]

Выражения равны при всех допустимых значениях $a$.

б) Область допустимых значений: $a\ne -2$, $a\ne 2$.

Разложим знаменатель первой дроби: $a^2-4=(a-2)(a+2)$. Приведём все дроби к общему знаменателю:

\[\frac{a^3}{a^2-4}-\frac{a}{a-2}-\frac{2}{a+2}=\frac{a^3-a(a+2)-2(a-2)}{(a-2)(a+2)}.\]

Упростим числитель:

\[a^3-a^2-4a+4=(a-1)(a^2-4).\]

Следовательно,

\[\frac{(a-1)(a^2-4)}{a^2-4}=a-1,\qquad a\ne\pm2.\]

Таким образом, во втором пункте выражения также тождественно равны на области допустимых значений.

99. Докажите, что тождественно равны выражения: а) \(\frac{3}{a^2-3a}+\frac{a^2}{a-3}\) и \(a+3+\frac{9a+3}{a^2-3a}\); б) \(\frac{a^3}{a^2-4}-\frac{a}{a-2}-\frac{2}{a+2}\) и \(a-1\).

Ответ: