99. Плоскость, проходящая через точки А, В и С (см. рис.), разбивает куб на два многогранника. Сколько вершин у получившегося многогранника с большим числом граней?

Для решения этой задачи нам нужно представить, как плоскость проходит через три точки куба и разделяет его. На рисунке изображен куб, и плоскость, проходящая через три вершины, создаст два новых многогранника. Давайте посчитаем вершины у одного из них.

Представим, что плоскость проходит через три вершины, например, соседние на одной грани. Тогда она отсечет от куба треугольную призму или другую фигуру. Но если плоскость проходит через три вершины, которые не лежат на одной грани (например, одна вершина на одной грани, а две другие на противоположной), она будет рассекать куб иначе.

В задаче спрашивается про многогранник с большим числом граней. Обычно, когда плоскость проходит через три вершины куба, она отсекает треугольную пирамиду. У исходного куба 8 вершин. Если мы отсечем пирамиду, то у оставшейся части будет больше вершин.

Давайте рассмотрим стандартный случай, когда плоскость проходит через три вершины, например, A, B и C, как показано на рисунке. Если эти точки образуют треугольник, который пересекает куб, то результирующие многогранники будут иметь разное количество вершин.

Рассмотрим куб. У него 8 вершин. Если плоскость проходит через три вершины, например, A, B и C, как показано на первом рисунке, она отсечет часть куба. Многогранник, который остается, будет иметь 7 вершин (3 вершины, через которые прошла плоскость, плюс 4 вершины основания, которые не были отсечены). В этом случае, каждая из полученных фигур будет иметь 4 вершины на основании и 3 вершины, через которые прошла плоскость (или 4 вершины и 3 вершины). Это даст 7 вершин.

Однако, если мы говорим о многогранниках, получающихся при сечении куба плоскостью, проходящей через три точки A, B, C, мы должны учитывать, что эти точки могут лежать на разных гранях.

Давайте предположим, что точки A, B, C — это вершины куба. Если эти три точки образуют треугольник, который пересекает куб, то мы получим два многогранника. Один из них будет иметь 4 вершины (если это будет треугольная пирамида, отсеченная от куба), а другой будет иметь 8 - 4 + 3 = 7 вершин (если считать вершины исходного куба и добавлять новые). Или же, если плоскость проходит через 3 вершины, например, A, B, C, которые образуют грань, то она не разрежет куб на два многогранника, а будет частью грани.

Более корректный подход:

Представим, что плоскость проходит через точки, которые являются вершинами куба. Если эти точки не лежат на одной прямой, они образуют плоскость. Эта плоскость пересечет куб. В зависимости от расположения точек, плоскость может отсечь от куба треугольную пирамиду.

У куба 8 вершин.

Когда плоскость проходит через три вершины, она может отсечь треугольную пирамиду. У этой пирамиды 4 вершины. Оставшаяся часть куба будет иметь 8 - 1 = 7 вершин (если плоскость проходит через вершину и ребра, но не отсекает ее полностью) или 8 - 4 = 4 вершины (если отсекается пирамида). Или же, если плоскость проходит через 3 вершины, то она может создать два многогранника. Пусть, например, плоскость проходит через вершины A, B, C. Тогда один многогранник (пирамида) будет иметь 4 вершины. Другой многогранник будет иметь 8 - 1 = 7 вершин.

В данном случае, если плоскость проходит через три вершины куба, она отсекает треугольную пирамиду. Эта пирамида имеет 4 вершины. Оставшийся многогранник будет иметь 8 (вершин куба) - 1 (вершина, которая не принадлежит ни одному из многогранников, кроме той, что отсечена) = 7 вершин. Или же, если мы отсекаем часть куба, то у оставшейся части будет 8 (все вершины куба) - (количество вершин, которые стали частью отсеченной фигуры и не относятся к оставшейся) = 7 вершин.

То есть, один многогранник имеет 4 вершины, а другой - 7 вершин. Следовательно, многогранник с большим числом вершин имеет 7 вершин.

Ответ: 7