992. Основание AD трапеции ABCD в 3 раза больше основания BC. На стороне AD отмечена такая точка K, что AK = 1/3 AD. Выразите векторы CK, KD и BC через векторы a = BA и b = CD.

Обозначим \(\vec{AD}=\vec{x}\), \(\vec{BC}=\vec{y}\). В трапеции основания параллельны, а при обходе вершин A, B, C, D векторы \(\vec{AD}\) и \(\vec{BC}\) направлены противоположно. Поэтому \(\vec{x}=-3\vec{y}\).

По замкнутому обходу A → B → C → D → A: \(-\vec{a}+\vec{y}+\vec{b}-\vec{x}=\vec{0}\), так как \(\vec{AB}=-\vec{a}\), \(\vec{CD}=\vec{b}\), \(\vec{DA}=-\vec{x}\). Отсюда \(\vec{x}-\vec{y}=\vec{b}-\vec{a}\). Вместе с \(\vec{x}=-3\vec{y}\) это даёт \(-4\vec{y}=\vec{b}-\vec{a}\), следовательно, \(\vec{BC}=\vec{y}=\frac{1}{4}(\vec{a}-\vec{b})\), а \(\vec{AD}=\vec{x}=\frac{3}{4}(\vec{b}-\vec{a})\).

Так как \(\vec{AK}=\frac{1}{3}\vec{AD}=\frac{1}{4}(\vec{b}-\vec{a})\), то

\[\vec{CK}=\vec{CB}+\vec{BA}+\vec{AK}=-\vec{BC}+\vec{a}+\vec{AK}=\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b}).\]

Кроме того, \(\vec{KD}=\vec{AD}-\vec{AK}=\frac{2}{3}\vec{AD}=\frac{1}{2}(\vec{b}-\vec{a})\).

Ответ: \(\vec{CK}=\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b}),\quad \vec{KD}=\frac{1}{2}(\vec{b}-\vec{a}),\quad \vec{BC}=\frac{1}{4}(\vec{a}-\vec{b})\).