992. При каких значениях b областью определения функции является множество всех чисел, если: а) y = 2/(x² + 2x + b); б) y = 2x/(|x − 1| − b)?

Чтобы область определения каждой дробно-рациональной функции содержала все действительные числа, её знаменатель должен быть отличен от нуля при любом x.

а) Знаменатель преобразуем, выделив квадрат:

\(x^2+2x+b=(x+1)^2+b-1\).

Выражение \((x+1)^2\) принимает все значения от 0 и выше. Знаменатель не обращается в ноль при всех x тогда и только тогда, когда его наименьшее значение \(b-1\) положительно: \(b-1>0\), то есть \(b>1\).

б) Значения \(|x-1|\) составляют промежуток \([0,+\infty)\). Знаменатель обратится в ноль, если \(|x-1|=b\). Такое возможно при \(b\geq 0\). Поэтому для отсутствия нулей знаменателя необходимо и достаточно, чтобы \(b<0\).

Ответ: а) \(b>1\); б) \(b<0\).