999. Дана параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. M — середина отрезка AO. Найдите, если это возможно, такое число k, чтобы векторы: а) AC = kAO; б) BO = kBD; в) OC = kCA; г) AB = kDC; д) BC = kDA; е) AM = kCA; ж) MC = kAM; з) AC = kCM; и) AO = kBD.

Используем свойства параллелограмма: диагонали делятся точкой пересечения пополам, а противоположные стороны равны как векторы.

1. Так как O — середина AC, \(\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AO}\). Значит, \(k=2\).
2. Так как O — середина BD, \(\overrightarrow{BO}=\frac12\overrightarrow{BD}\). Значит, \(k=\frac12\).
3. Поскольку \(\overrightarrow{OC}=\frac12\overrightarrow{AC}\), а \(\overrightarrow{CA}=-\overrightarrow{AC}\), получаем \(\overrightarrow{OC}=-\frac12\overrightarrow{CA}\). Значит, \(k=-\frac12\).
4. Противоположные стороны параллелограмма равны и сонаправлены: \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\). Значит, \(k=1\).
5. \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{DA}\). Значит, \(k=-1\).
6. M — середина AO, поэтому \(\overrightarrow{AM}=\frac12\overrightarrow{AO}=\frac14\overrightarrow{AC}=-\frac14\overrightarrow{CA}\). Значит, \(k=-\frac14\).
7. Пусть \(\overrightarrow{AO}=\mathbf{u}\). Тогда \(\overrightarrow{AM}=\frac12\mathbf{u}\), а \(\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC}=-\frac12\mathbf{u}-\mathbf{u}=-\frac32\mathbf{u}\). Следовательно, \(\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{AM}\), и \(k=3\).
8. Из предыдущего соотношения \(\overrightarrow{CM}=-\overrightarrow{MC}=-\frac32\mathbf{u}\), а \(\overrightarrow{AC}=-2\mathbf{u}\). Поэтому \(\overrightarrow{AC}=\frac43\overrightarrow{CM}\), и \(k=\frac43\).
9. Векторы \(\overrightarrow{AO}\) и \(\overrightarrow{BD}\) лежат на разных диагоналях. В общем случае они не коллинеарны, поэтому такого числа k нет.

Ответ: а) 2; б) \(\frac12\); в) \(-\frac12\); г) 1; д) −1; е) \(-\frac14\); ж) 3; з) \(\frac43\); и) такого числа нет.