99 В треугольнике АВС, изображенном на рисунке, АС = ВС ≠ AB, BM = MC, BT ⊥ AC, ∠ ACO = ∠ BCO. Какая из прямых AM, CO, BT является серединным перпендикуляром к стороне треугольника АВС? Решение. Прямая называется серединным перпендикуляром к ________ отрезку, если она проходит через ________ этого отрезка и ________ . По условию задачи BM = ____ , но прямая AM не перпендику- лярна к ________ BC, так как в противном случае отрезок AM был бы медианой и ________ треугольника АВС, а тогда были бы равны стороны AB и ________ , что неверно. Следовательно, прямая AM ________ к стороне BC.

Решение:

Прямая называется серединным перпендикуляром к отрезку, если она проходит через середину этого отрезка и перпендикулярна к нему.

Анализируем условия:

• AC = BC: Треугольник ABC — равнобедренный.
• BM = MC: M — середина стороны BC.
• BT ⊥ AC: BT — высота (и медиана, и биссектриса, так как треугольник равнобедренный).
• ∠ ACO = ∠ BCO: CO — биссектриса угла C.

Рассмотрим прямые:

1. AM:
• По условию задачи BM = MC, значит M — середина BC.
• Если бы AM была серединным перпендикуляром к BC, она должна была бы быть перпендикулярна BC.
• В равнобедренном треугольнике ABC (AC = BC), медиана AM к основанию AB является также высотой и биссектрисой.
• Но по условию AB ≠ AC = BC, значит AB — основание, а AC и BC — боковые стороны.
• В равнобедренном треугольнике ABC, где AC = BC, серединный перпендикуляр к основанию AB проходит через вершину C.
• Серединный перпендикуляр к BC будет перпендикулярен BC и проходить через середину BC (точку M).
• Если бы AM была серединным перпендикуляром к BC, то AM ⊥ BC. Однако, в равнобедренном треугольнике ABC (AC=BC), AM является медианой к основанию AB. Медиана к основанию равнобедренного треугольника является также высотой, то есть AM ⊥ AB.
• Так как AB ≠ BC, то AM не может быть серединным перпендикуляром к BC.
2. CO:
• CO — биссектриса угла C. В равнобедренном треугольнике ABC (AC = BC), биссектриса угла при основании (C) не является серединным перпендикуляром к противолежащей стороне (AB).
• Серединный перпендикуляр к основанию AB проходит через вершину C.
3. BT:
• BT ⊥ AC. BT — высота.
• В равнобедренном треугольнике ABC (AC = BC), высота BT к боковой стороне AC не обязательно является серединным перпендикуляром.

Переосмысливаем условие:

В равнобедренном треугольнике ABC (AC = BC), серединный перпендикуляр к основанию AB проходит через вершину C. Серединный перпендикуляр к боковой стороне BC проходит через середину BC (точку M) и перпендикулярен BC. Серединный перпендикуляр к боковой стороне AC проходит через середину AC и перпендикулярен AC.

Нас спрашивают, какая из прямых AM, CO, BT является серединным перпендикуляром к СТОРОНЕ треугольника ABC.

Рассмотрим серединный перпендикуляр к стороне BC:

Он должен проходить через середину BC (это точка M) и быть перпендикулярным BC.

В условии задачи сказано:

• AC = BC ≠ AB, значит AB — основание, AC и BC — боковые стороны.
• BM = MC, значит M — середина BC.
• BT ⊥ AC.
• ∠ ACO = ∠ BCO, значит CO — биссектриса угла C.

Какая из прямых AM, CO, BT является серединным перпендикуляром к стороне треугольника ABC?

К какой стороне? Вопрос не уточняет, к какой именно стороне. Предположим, что ищут серединный перпендикуляр к одной из сторон.

Серединный перпендикуляр к BC: проходит через M и перпендикулярен BC. По условию, AM — медиана к AB. В равнобедренном треугольнике с AC=BC, медиана AM к основанию AB является высотой, т.е. AM ⊥ AB. AM не может быть перпендикулярна BC, так как AB ≠ BC.

Серединный перпендикуляр к AC: проходит через середину AC и перпендикулярен AC.

Серединный перпендикуляр к AB: проходит через середину AB и перпендикулярен AB. В равнобедренном треугольнике с AC=BC, этот перпендикуляр проходит через вершину C.

Возвращаемся к условию и рисунку:

В равнобедренном треугольнике ABC (AC = BC), M — середина BC, BT ⊥ AC.

Проверим прямую CO: CO — биссектриса угла C. В равнобедренном треугольнике, биссектриса угла при вершине (C) является также медианой и высотой к основанию AB. То есть, CO ⊥ AB и CO проходит через середину AB. Следовательно, CO — серединный перпендикуляр к стороне AB.

Проверим прямую AM: M — середина BC. AM — медиана. Если AM — серединный перпендикуляр к BC, то AM ⊥ BC. Но AM — медиана к основанию AB, значит AM ⊥ AB. Если AM ⊥ BC и AM ⊥ AB, то AB || BC, что невозможно.

Проверим прямую BT: BT ⊥ AC. BT — высота. Это не обязательно серединный перпендикуляр.

Следовательно, прямая CO является серединным перпендикуляром к стороне AB.

Заполняем пропуски:

Прямая называется серединным перпендикуляром к отрезку, если она проходит через середину этого отрезка и перпендикулярна к нему.

По условию задачи BM = MC , но прямая AM не перпендику-

лярна к стороне BC, так как в противном случае

отрезок AM был бы медианой и высотой треугольника

АВС, а тогда были бы равны стороны AB и BC , что неверно.

Следовательно, прямая CO к стороне BC.

Вывод:

В равнобедренном треугольнике ABC (AC = BC), прямая CO является серединным перпендикуляром к основанию AB, так как она проходит через середину AB и перпендикулярна AB.

Ответ: CO