№9 AB и CD — диаметры одной окружности с центром в точке О. Сумма углов ОСВ и ОВС равна 114°. Найдите угол ADC.

Решение:

Рассмотрим треугольник OBC. Так как OB и OC — радиусы одной окружности, то \( OB = OC \). Следовательно, треугольник OBC равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому \( \angle OBC = \angle OCB \).

По условию \( \angle OCB + \angle OBC = 114^{\circ} \). Так как \( \angle OCB = \angle OBC \), то \( 2 \cdot \angle OCB = 114^{\circ} \), откуда \( \angle OCB = \frac{114^{\circ}}{2} = 57^{\circ} \). Следовательно, \( \angle OBC = 57^{\circ} \).

Угол \( \angle BOC \) является смежным с \( \angle OCB \) и \( \angle OBC \) в треугольнике OBC. Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому \( \angle BOC = 180^{\circ} - (\angle OCB + \angle OBC) = 180^{\circ} - 114^{\circ} = 66^{\circ} \).

AB и CD — диаметры, пересекающиеся в точке О. Углы \( \angle BOC \) и \( \angle AOD \) являются вертикальными, следовательно, \( \angle AOD = \angle BOC = 66^{\circ} \).

Теперь рассмотрим треугольник AOD. Так как OA и OD — радиусы одной окружности, то \( OA = OD \). Следовательно, треугольник AOD равнобедренный. Углы при основании равны: \( \angle OAD = \angle ODA \).

Сумма углов в треугольнике AOD равна 180°: \( \angle AOD + \angle OAD + \angle ODA = 180^{\circ} \).

\( 66^{\circ} + 2 \cdot \angle ODA = 180^{\circ} \)

\( 2 \cdot \angle ODA = 180^{\circ} - 66^{\circ} = 114^{\circ} \)

\[ \angle ODA = \frac{114^{\circ}}{2} = 57^{\circ} \]

Угол ADC — это тот же угол ODA.

Ответ: 57°.