9 Из пункта А в направлении пункта Б, расстояние между которыми равно 120 км, в 8 часов утра выехал автомобиль. Одновременно с ним из пункта В, расположенного между пунктами А и Б, в том же направлении выехал велосипедист. Доехав до пункта Б, водитель автомобиля сделал остановку на 2 часа, а затем с той же скоростью поехал обратно. На рисунке график движения велосипедиста обозначен цифрой 1, график движения автомобиля обозначен цифрой 2 и приведён только на пути из А в Б. По горизонтали указано время, а по вертикали — расстояние до пункта А. S, KM 120 110 100- -90 -80 70 60 -50 -40 30 20 10 0 5 10 15 20 1) Найдите, на каком расстоянии от пункта В автомобиль догнал велосипедиста. Ответ: 2) На том же рисунке достройте график движения автомобиля до момента возвращения в пункт А.

Решение:

Анализ данных:

• Расстояние между A и B = 120 км.
• Автомобиль выехал из A в 8:00.
• Велосипедист выехал из B одновременно с автомобилем (в 8:00).
• График велосипедиста — кривая 1.
• График автомобиля (только из A в B) — кривая 2.
• Автомобиль доехал до B, сделал остановку на 2 часа, затем поехал обратно в A.
• По горизонтали — время, по вертикали — расстояние от А.

1) На каком расстоянии от пункта В автомобиль догнал велосипедиста?

Шаг 1: Определим скорость велосипедиста.

График 1 (велосипедист) начинается в точке (0, 120), что означает, что в начальный момент времени (t=0, т.е. в 8:00) велосипедист находился на расстоянии 120 км от А (т.е. в пункте B).

График 1 заканчивается в точке (10, 0), что означает, что через 10 часов (в 18:00) велосипедист достиг пункта А. Однако, согласно условию, он едет из B в направлении A. Значит, график 1 начинается в B (120 км от A) и движется к A (0 км от A).

По графику 1: в момент времени 0 (8:00), расстояние от А = 120 км (пункт B).

В момент времени 10 часов (18:00), расстояние от А = 0 км (пункт A).

Значит, велосипедист проехал 120 км за 10 часов.

Скорость велосипедиста: $$v_в = \frac{120 \text{ км}}{10 \text{ ч}} = 12 \text{ км/ч}$$.

Шаг 2: Определим скорость автомобиля.

График 2 (автомобиль) начинается в точке (0, 0), что означает, что в начальный момент времени (t=0, т.е. в 8:00) автомобиль находился в пункте А.

Автомобиль достиг пункта B (120 км от А) в момент времени 6 часов (14:00).

Скорость автомобиля: $$v_а = \frac{120 \text{ км}}{6 \text{ ч}} = 20 \text{ км/ч}$$.

Шаг 3: Найдем время и место, когда автомобиль догнал велосипедиста.

Автомобиль выехал из A, велосипедист из B. Они едут навстречу друг другу, когда автомобиль едет из A в B, а велосипедист из B в A. Но в условии сказано "в том же направлении". Это означает, что автомобиль едет из A в B, и велосипедист едет из B в A. Это движение навстречу.

Однако, график 1 показывает, что велосипедист движется от 120 км до 0 км. График 2 показывает, что автомобиль движется от 0 км до 120 км.

Значит, автомобиль едет из A в B, а велосипедист едет из B в A. Они движутся навстречу друг другу.

В момент встречи, их суммарное пройденное расстояние равно расстоянию между A и B (120 км).

Пусть t — время (в часах) с момента старта (8:00), когда они встретились.

Расстояние, пройденное автомобилем: $$S_а = v_а imes t = 20t$$.

Расстояние, пройденное велосипедистом: $$S_в = v_в imes t = 12t$$.

Велосипедист стартовал из B (120 км от A). Его расстояние от A в момент времени t будет: $$120 - S_в = 120 - 12t$$.

Они встретились, когда расстояние автомобиля от A равно расстоянию велосипедиста от A.

$$20t = 120 - 12t$$

$$32t = 120$$

$$t = \frac{120}{32} = \frac{30}{8} = \frac{15}{4} = 3.75$$ часа.

3.75 часа = 3 часа 45 минут.

Время встречи: 8:00 + 3 часа 45 минут = 11:45.

Место встречи (расстояние от А): $$S_а = 20 imes 3.75 = 20 imes \frac{15}{4} = 5 imes 15 = 75$$ км.

Расстояние от пункта В: $$120 - 75 = 45$$ км.

Проверка по графику:

В момент времени t=3.75, расстояние от А должно быть 75 км.

На графике 1 (велосипедист): В t=3.75, расстояние от A = 120 - 12 * 3.75 = 120 - 45 = 75 км. Верно.

На графике 2 (автомобиль): В t=3.75, расстояние от A = 20 * 3.75 = 75 км. Верно.

Ответ на 1): Автомобиль догнал велосипедиста на расстоянии 45 км от пункта В.

2) На том же рисунке достройте график движения автомобиля до момента возвращения в пункт А.

Шаг 1: Определим время прибытия автомобиля в пункт B.

Автомобиль достиг пункта B (120 км от A) в момент времени t = 6 часов (14:00).

Шаг 2: Определим время остановки автомобиля.

Автомобиль сделал остановку на 2 часа. Значит, он простоял в пункте B с 14:00 до 16:00.

Шаг 3: Определим время возвращения автомобиля в пункт А.

После остановки, автомобиль поехал обратно в пункт А с той же скоростью $$v_а = 20$$ км/ч.

Время в пути обратно = $$\frac{\text{Расстояние}}{\text{Скорость}} = \frac{120 \text{ км}}{20 \text{ км/ч}} = 6$$ часов.

Время отправления из B после остановки: 16:00.

Время прибытия в A: 16:00 + 6 часов = 22:00.

Шаг 4: Построение графика.

• Участок от A до B: от (0, 0) до (6, 120).
• Остановка в B: от (6, 120) до (6+2, 120) = (8, 120).
• Участок от B до A: от (8, 120) до (8+6, 0) = (14, 0).

Достроенный график автомобиля:

Линия от точки (8, 120) до точки (14, 0).

Ответ на 2): График движения автомобиля будет состоять из трех отрезков:

• (0, 0) до (6, 120) — движение из A в B.
• (6, 120) до (8, 120) — остановка в B.
• (8, 120) до (14, 0) — движение из B в A.