9x²-12x+4 Решите неравенство ≤ 0. 3x²+7x-6

Задача: Решить неравенство \[ \frac{9x^2 - 12x + 4}{3x^2 + 7x - 6} \le 0 \]

Решение:

Чтобы решить это неравенство, нам нужно найти корни числителя и знаменателя, а затем проанализировать знаки каждого выражения.

1. Найдем корни числителя: \[ 9x^2 - 12x + 4 = 0 \] Это квадратное уравнение. Можно использовать дискриминант или заметить, что это полный квадрат: \[ (3x - 2)^2 = 0 \] Отсюда, корень числителя: \[ 3x - 2 = 0 \] \[ 3x = 2 \] \[ x = \frac{2}{3} \]
2. Найдем корни знаменателя: \[ 3x^2 + 7x - 6 = 0 \] Используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121 \] \[ \sqrt{D} = \sqrt{121} = 11 \] Найдем корни: \[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - 11}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3 \] \[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]
3. Анализ знаков:

   У нас есть критические точки: -3, 2/3 (корень знаменателя), и 2/3 (корень числителя). Важно помнить, что значение x = 2/3 является корнем и числителя, и знаменателя. Поскольку это корень знаменателя, он не входит в область допустимых значений (ОДЗ).

   Разложим числитель и знаменатель на множители:

   • Числитель: \( 9x^2 - 12x + 4 = (3x - 2)^2 \)
   • Знаменатель: \( 3x^2 + 7x - 6 = 3(x - (-3))(x - \frac{2}{3}) = 3(x + 3)(x - \frac{2}{3}) \)

   Теперь рассмотрим дробь:

   \[ \frac{(3x - 2)^2}{3(x + 3)(x - \frac{2}{3})} \le 0 \]
   • Интервал (-∞; -3): Возьмем, например, x = -4. Числитель: \( (3(-4) - 2)^2 = (-14)^2 = 196 \) (положительный). Знаменатель: \( 3(-4 + 3)(-4 - \frac{2}{3}) = 3(-1)(-\frac{14}{3}) = 14 \) (положительный). Дробь положительная.
   • Интервал (-3; 2/3): Возьмем, например, x = 0. Числитель: \( (3(0) - 2)^2 = (-2)^2 = 4 \) (положительный). Знаменатель: \( 3(0 + 3)(0 - \frac{2}{3}) = 3(3)(-\frac{2}{3}) = -6 \) (отрицательный). Дробь отрицательная.
   • Интервал (2/3; +∞): Возьмем, например, x = 1. Числитель: \( (3(1) - 2)^2 = (1)^2 = 1 \) (положительный). Знаменатель: \( 3(1 + 3)(1 - \frac{2}{3}) = 3(4)(\frac{1}{3}) = 4 \) (положительный). Дробь положительная.

   Важное замечание: В точке x = 2/3 числитель равен нулю, а знаменатель обращается в ноль. Поскольку делить на ноль нельзя, x = 2/3 не входит в область решения. Однако, так как числитель возведен в квадрат, знак в интервалах, где он присутствует, остается постоянным. Ноль числителя (x = 2/3) должен быть рассмотрен отдельно.

4. Определение решения: Нам нужно, чтобы дробь была меньше или равна нулю \( \le 0 \). Из анализа знаков видно, что это происходит на интервале (-3; 2/3). Также, числитель равен нулю при \( x = \frac{2}{3} \). Но так как это корень знаменателя, он исключается.

Уточнение: При \( x = \frac{2}{3} \) числитель равен 0, но знаменатель равен 0. Поэтому \( x = \frac{2}{3} \) не является решением. Только интервал, где дробь строго отрицательна, подходит.

Итоговая область решения: x принадлежит интервалу \( (-3; \frac{2}{3}) \).

Ответ: \( x \in (-3; \frac{2}{3}) \)