27.11.25_10 класс Задачи для самостоятельной работы по теме: «Теорема о трех перпендикулярах» Івариант 1. Угол С треугольника АВС прямой. AD перпендикуляр к плоскости треугольника АВС. Докажите, что треугольник ВСD прямоугольный. 2. ABCD- квадрат, диагонали которого пересекаются в точке Е. АН перпендикуляр к плоскости квадрата. Докажите, что прямые НЕ и ВД перпендикулярны. Ma 3. Из вершины А квадрата ABCD со стороной 16 см восстановлен перпендикуляр АЕ длиной 12 см. докажите, что треугольник ВСЕ прямоугольный. Найдите его площадь. перпендикуляр ОМ длиной 12 см. Найдите площадь треугольника АВМ 5. Отрезок АМ перпендикулярен плоскости треугольника АВС и имеет длину 24 см. Найдите расстояние от точки М до прямой ВС, если АВ=АС=20 см., ВС=24 см. 4. Из центра О квадрата ABCD со стороной 18 см к его плоскости восстановлен 6. В правильном треугольнике АВС точка О- центр. ОМ- перпендикуляр к плоскости АВС. Найдите расстояние от точки М до стороны АВ, если АВ=10см, ОМ-5см.

Разберем задачи для самостоятельной работы по геометрии.

1.

По условию, угол C треугольника ABC прямой, и AD перпендикулярна плоскости треугольника ABC. Нужно доказать, что треугольник BCD прямоугольный.

Так как AD перпендикулярна плоскости ABC, то AD перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Значит, AD перпендикулярна BC.

Рассмотрим треугольник BCD. Прямая AD перпендикулярна BC. По теореме о трех перпендикулярах, если AD перпендикулярна BC, то и CD перпендикулярна BC. Это означает, что угол BCD прямой.

Следовательно, треугольник BCD прямоугольный.

Ответ: доказано, что треугольник BCD прямоугольный.

2.

По условию ABCD - квадрат, диагонали которого пересекаются в точке E, AH перпендикулярна плоскости квадрата. Нужно доказать, что прямые HE и BD перпендикулярны.

В квадрате диагонали перпендикулярны друг другу, то есть BD перпендикулярна AC. Так как BD лежит в плоскости квадрата ABCD, a AH перпендикулярна этой плоскости, то AH перпендикулярна BD.

Теперь у нас есть BD перпендикулярна AC и BD перпендикулярна AH. Так как AC и AH пересекаются в точке A, то BD перпендикулярна плоскости, проходящей через AC и AH. Эта плоскость содержит прямую HE. Следовательно, BD перпендикулярна HE.

Ответ: доказано, что прямые HE и BD перпендикулярны.

3.

По условию из вершины A квадрата ABCD со стороной 16 см восстановлен перпендикуляр AE длиной 12 см. Нужно доказать, что треугольник BCE прямоугольный, и найти его площадь.

Так как AE перпендикулярна плоскости квадрата ABCD, то AE перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, проходящей через A. Значит, AE перпендикулярна AB и AD.

Рассмотрим треугольники ABE и ADE. Они прямоугольные, так как AE перпендикулярна AB и AD. Также AB = AD (стороны квадрата), и AE - общий катет. Следовательно, треугольники ABE и ADE равны по двум катетам.

Тогда BE = DE. Рассмотрим треугольник BCE. У нас есть BE = DE. Также, CE^2 = AE^2 + AC^2, где AC - диагональ квадрата. AC = 16 * sqrt(2), так как диагональ квадрата равна стороне, умноженной на sqrt(2). CE^2 = 12^2 + (16 * sqrt(2))^2 = 144 + 512 = 656.

BC = 16 см (сторона квадрата). Чтобы доказать, что треугольник BCE прямоугольный, нужно проверить, выполняется ли теорема Пифагора. CE^2 = BC^2 + BE^2. BE^2 = AE^2 + AB^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400, BE = 20 см.

656 = 16^2 + 20^2 = 256 + 400 = 656. Теорема Пифагора выполняется, значит, треугольник BCE прямоугольный.

Площадь треугольника BCE равна (1/2) * BC * BE = (1/2) * 16 * 20 = 160 см^2.

Ответ: треугольник BCE прямоугольный, его площадь равна 160 см².

4.

По условию из центра O квадрата ABCD со стороной 18 см к его плоскости восстановлен перпендикуляр OM длиной 12 см. Нужно найти площадь треугольника ABM.

Так как O - центр квадрата, то OA = OB = OC = OD. OM перпендикулярна плоскости квадрата ABCD, значит, OM перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через O. OM перпендикулярна OA, OB, OC, OD.

Треугольник OMA прямоугольный, OM = 12 см. OA = (1/2) * AC = (1/2) * 18 * sqrt(2) = 9 * sqrt(2) см. AM = sqrt(OM^2 + OA^2) = sqrt(12^2 + (9 * sqrt(2))^2) = sqrt(144 + 162) = sqrt(306) см.

Треугольник OMB прямоугольный, OM = 12 см. OB = (1/2) * BD = (1/2) * 18 * sqrt(2) = 9 * sqrt(2) см. BM = sqrt(OM^2 + OB^2) = sqrt(12^2 + (9 * sqrt(2))^2) = sqrt(144 + 162) = sqrt(306) см.

Значит, AM = BM. Сторона квадрата AB = 18 см. Теперь нужно найти высоту треугольника ABM, проведенную из вершины M к стороне AB.

Пусть H - середина AB, тогда OH перпендикулярна AB и MH перпендикулярна AB. OH = (1/2) * AD = 9 см. MH = sqrt(OM^2 + OH^2) = sqrt(12^2 + 9^2) = sqrt(144 + 81) = sqrt(225) = 15 см.

Площадь треугольника ABM равна (1/2) * AB * MH = (1/2) * 18 * 15 = 135 см^2.

Ответ: площадь треугольника ABM равна 135 см².

5.

По условию отрезок AM перпендикулярен плоскости треугольника ABC и имеет длину 24 см. Нужно найти расстояние от точки M до прямой BC, если AB = AC = 20 см, BC = 24 см.

Пусть D - середина BC. Тогда AD - высота и медиана равнобедренного треугольника ABC. BD = DC = (1/2) * BC = 12 см. AD = sqrt(AB^2 - BD^2) = sqrt(20^2 - 12^2) = sqrt(400 - 144) = sqrt(256) = 16 см.

Так как AM перпендикулярна плоскости треугольника ABC, то AM перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через A. AM перпендикулярна AD. MD = sqrt(AM^2 + AD^2) = sqrt(24^2 + 16^2) = sqrt(576 + 256) = sqrt(832) = 8 * sqrt(13) см.

Так как AD - высота, то AD перпендикулярна BC. По теореме о трех перпендикулярах, MD перпендикулярна BC.

Значит, расстояние от точки M до прямой BC равно MD = 8 * sqrt(13) см.

Ответ: расстояние от точки M до прямой BC равно $$8\sqrt{13}$$ см.

6.

В правильном треугольнике ABC точка O - центр. OM - перпендикуляр к плоскости ABC. Нужно найти расстояние от точки M до стороны AB, если AB = 10 см, OM = 5 см.

Пусть D - середина AB. Тогда OD перпендикулярна AB, так как в правильном треугольнике высота, проведенная из центра, перпендикулярна стороне. Также MD перпендикулярна AB по теореме о трех перпендикулярах.

OD = (1/3) * AD = (1/3) * (sqrt(AC^2 - DC^2) = (1/3) * sqrt(10^2 - 5^2) = (1/3) * sqrt(100 - 25) = (1/3) * sqrt(75) = (1/3) * 5 * sqrt(3) = (5 * sqrt(3)) / 3 см.

MD = sqrt(OM^2 + OD^2) = sqrt(5^2 + ((5 * sqrt(3)) / 3)^2) = sqrt(25 + (25 * 3) / 9) = sqrt(25 + 25 / 3) = sqrt(100 / 3) = 10 / sqrt(3) = (10 * sqrt(3)) / 3 см.

Значит, расстояние от точки M до стороны AB равно (10 * sqrt(3)) / 3 см.

Ответ: расстояние от точки M до стороны AB равно $$\frac{10\sqrt{3}}{3}$$ см.