#65_ДЗ В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 известно, что D₁ B = 2AB. Найдите угол между диагоналями BD₁ и СА₁. Отут дайте в градусах.

Краткое пояснение:

Решение:

Пусть сторона основания равна a, тогда диагональ D₁B = 2a.

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁.

Пусть AB = a, тогда D₁B = 2a.

Рассмотрим прямоугольный треугольник DD₁B: DD₁² + BD² = D₁B²

Пусть DD₁ = h, тогда h² + (a√2)² = (2a)², h² + 2a² = 4a², h² = 2a², h = a√2

Рассмотрим прямоугольный треугольник BCD₁, у которого BC = a, CD₁ = a√2, тогда tg угла BD₁C = BC/CD₁ = a/a√2 = 1/√2 = √2/2

Угол BD₁C = arctg(√2/2)

Так как BD₁ || B₁D, CA₁ || AC₁, то угол между BD₁ и CA₁ равен углу между B₁D и AC₁.

Тогда угол между диагоналями BD₁ и CA₁ равен arctg(√2/2)

arctg(√2/2) ≈ 35,26°, что приблизительно равно 35°.

Ответ: 35°

Проверка за 10 секунд: Убедись, что найденный угол соответствует геометрии фигуры и заданным условиям.

Доп. профит: Запомни, что в прямоугольном параллелепипеде угол между диагоналями можно найти через тангенс угла, зная соотношение сторон.