Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика133. a) \begin{cases} x^2 - 2y = 3, x^2y = 27; \end{cases} б) \begin{cases} x^2 + y = 10, x^4 + x^2y = 90; \end{cases} B) \begin{cases} x + y^2 = 2, 2y^2 + x^2 = 3; \end{cases} г) \begin{cases} x^2 + y^4 = 5, xy^2 = 2. \end{cases}
Ответ:
Решение системы уравнений 133 a)
Давай решим систему уравнений:
\[\begin{cases} x^2 - 2y = 3, \\ x^2y = 27.\end{cases}\]Из первого уравнения выразим x²:
\[x^2 = 2y + 3\]Подставим это выражение во второе уравнение:
\[(2y + 3)y = 27\] \[2y^2 + 3y - 27 = 0\]Решим квадратное уравнение относительно y. Дискриминант:
\[D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-27) = 9 + 216 = 225\]Корни уравнения:
\[y_1 = \frac{-3 + \sqrt{225}}{4} = \frac{-3 + 15}{4} = \frac{12}{4} = 3\] \[y_2 = \frac{-3 - \sqrt{225}}{4} = \frac{-3 - 15}{4} = \frac{-18}{4} = -4.5\]Теперь найдем соответствующие значения x:
Для y = 3:
\[x^2 = 2(3) + 3 = 6 + 3 = 9\] \[x = \pm 3\]Для y = -4.5:
\[x^2 = 2(-4.5) + 3 = -9 + 3 = -6\]Так как x² не может быть отрицательным, этот случай не имеет решений.
Таким образом, решения системы:
\[(3, 3), (-3, 3)\]Ответ: (3, 3), (-3, 3)
Отличная работа! Ты отлично справился с решением этой системы уравнений. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!
Решение системы уравнений 133 б)
Давай решим систему уравнений:
\[\begin{cases} x^2 + y = 10, \\ x^4 + x^2y = 90.\end{cases}\]Из первого уравнения выразим y:
\[y = 10 - x^2\]Подставим это выражение во второе уравнение:
\[x^4 + x^2(10 - x^2) = 90\] \[x^4 + 10x^2 - x^4 = 90\] \[10x^2 = 90\] \[x^2 = 9\] \[x = \pm 3\]Теперь найдем соответствующие значения y:
Для x = 3:
\[y = 10 - (3)^2 = 10 - 9 = 1\]Для x = -3:
\[y = 10 - (-3)^2 = 10 - 9 = 1\]Таким образом, решения системы:
\[(3, 1), (-3, 1)\]Ответ: (3, 1), (-3, 1)
Молодец! Ты отлично справился с решением этой системы уравнений. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!
Решение системы уравнений 133 в)
Давай решим систему уравнений:
\[\begin{cases} x + y^2 = 2, \\ 2y^2 + x^2 = 3.\end{cases}\]Из первого уравнения выразим x:
\[x = 2 - y^2\]Подставим это выражение во второе уравнение:
\[2y^2 + (2 - y^2)^2 = 3\] \[2y^2 + 4 - 4y^2 + y^4 = 3\] \[y^4 - 2y^2 + 1 = 0\] \[(y^2 - 1)^2 = 0\] \[y^2 = 1\] \[y = \pm 1\]Теперь найдем соответствующие значения x:
Для y = 1:
\[x = 2 - (1)^2 = 2 - 1 = 1\]Для y = -1:
\[x = 2 - (-1)^2 = 2 - 1 = 1\]Таким образом, решения системы:
\[(1, 1), (1, -1)\]Ответ: (1, 1), (1, -1)
Прекрасно! Ты отлично справился с решением этой системы уравнений. Не останавливайся на достигнутом, и у тебя всё получится!
Решение системы уравнений 133 г)
Давай решим систему уравнений:
\[\begin{cases} x^2 + y^4 = 5, \\ xy^2 = 2.\end{cases}\]Из второго уравнения выразим x:
\[x = \frac{2}{y^2}\]Подставим это выражение в первое уравнение:
\[\left(\frac{2}{y^2}\right)^2 + y^4 = 5\] \[\frac{4}{y^4} + y^4 = 5\]Умножим обе части уравнения на y⁴:
\[4 + y^8 = 5y^4\] \[y^8 - 5y^4 + 4 = 0\]Пусть z = y⁴, тогда уравнение принимает вид:
\[z^2 - 5z + 4 = 0\]Решим квадратное уравнение относительно z. Дискриминант:
\[D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9\]Корни уравнения:
\[z_1 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2} = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4\] \[z_2 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2} = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1\]Теперь найдем соответствующие значения y:
Для z = 4:
\[y^4 = 4\] \[y = \pm \sqrt{2}\]Для z = 1:
\[y^4 = 1\] \[y = \pm 1\]Теперь найдем соответствующие значения x:
Для y = √2:
\[x = \frac{2}{(\sqrt{2})^2} = \frac{2}{2} = 1\]Для y = -√2:
\[x = \frac{2}{(-\sqrt{2})^2} = \frac{2}{2} = 1\]Для y = 1:
\[x = \frac{2}{(1)^2} = \frac{2}{1} = 2\]Для y = -1:
\[x = \frac{2}{(-1)^2} = \frac{2}{1} = 2\]Таким образом, решения системы:
\[(1, \sqrt{2}), (1, -\sqrt{2}), (2, 1), (2, -1)\]Ответ: (1, √2), (1, -√2), (2, 1), (2, -1)
Великолепно! Ты показал отличные навыки в решении этой сложной системы уравнений. Продолжай тренироваться, и всё у тебя будет получаться ещё лучше!
