1. а||b, с – секущая. Сумма двух накрест лежащих углов равна 210°. Найдите эти углы. 2. а||b, с – секущая. ∠1, ∠2–односторонние, ∠1: ∠2=2:3. Найдите эти углы. 3. Отрезки MN и KD пересекаются в их середине О. Докажите, что MK || ND. 4. На рисунке ∠1=58°, ∠2=87°, ∠4 = 122°. Найдите ∠3. 5. Отрезок DM – биссектриса треугольника CDE. Через точку М проведена прямая, параллельная стороне CD и пересекающая сторону DE в точке N. Найдите углы треугольника DMN, если ∠CDE = 68°.

Задача 1:

Сумма двух накрест лежащих углов равна 210°. Нужно найти эти углы, зная, что накрест лежащие углы при параллельных прямых равны, если секущая пересекает параллельные прямые, следовательно, условие задачи не соответствует свойствам параллельных прямых.

Задача 2:

Дано: a || b, c - секущая, углы 1 и 2 - односторонние, ∠1 : ∠2 = 2 : 3.

Найти: ∠1 и ∠2.

Решение:

• Сумма односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна 180°.
• Пусть ∠1 = 2x, тогда ∠2 = 3x.
• 2x + 3x = 180°
• 5x = 180°
• x = 36°
• ∠1 = 2 * 36° = 72°
• ∠2 = 3 * 36° = 108°

Ответ: ∠1 = 72°, ∠2 = 108°

Задача 3:

Для доказательства, что MK || ND, нужно доказать равенство накрест лежащих углов или соответственных углов, образующихся при пересечении прямых MK и ND секущей. Так как отрезки MN и KD пересекаются в их середине O, то MO = ON и KO = OD. Если углы MOK и DON равны как вертикальные, то треугольники MOK и DON равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство углов KMO и DNO, которые являются накрест лежащими при прямых MK и ND и секущей MN. Следовательно, MK || ND.

Задача 4:

Дано: ∠1 = 58°, ∠2 = 87°, ∠4 = 122°.

Найти: ∠3.

Решение:

• Сумма углов в четырехугольнике равна 360°.
• ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 360°
• 58° + 87° + ∠3 + 122° = 360°
• ∠3 + 267° = 360°
• ∠3 = 360° - 267°
• ∠3 = 93°

Ответ: ∠3 = 93°

Задача 5:

Дано: DM - биссектриса треугольника CDE, CD || MN, ∠CDE = 68°.

Найти: углы треугольника DMN.

Решение:

• ∠CDM = ∠MDE = 68° / 2 = 34°, так как DM - биссектриса.
• ∠DMN = ∠CDE = 68°, как соответственные углы при параллельных прямых CD и MN.
• ∠DNM = 180° - ∠MDE - ∠DMN = 180° - 34° - 68° = 78°

Ответ: ∠DMN = 68°, ∠DNM = 78°, ∠MDN = 34°