а) \frac{1+ tg α}{1+ ctg α}, если cos α = \frac{12}{13}, \frac{3π}{2} < α < 2π; б) \frac{sin α + cos α}{sin α - cos α}, если tg α = \frac{5}{4}; в) \frac{cos α + ctg α}{ctg α}, если cos α = -\frac{1}{3}, π< α < \frac{3 π}{2}; г) sin² α cos² β, если cos² α - sin² β = 0,5.

Решим каждое из выражений.

1. а) \frac{1+ tg α}{1+ ctg α}, если cos α = \frac{12}{13}, \frac{3π}{2} < α < 2π;

Преобразуем выражение:

$$\frac{1+ tg α}{1+ ctg α} = \frac{1+ \frac{sin α}{cos α}}{1+ \frac{cos α}{sin α}} = \frac{\frac{cos α + sin α}{cos α}}{\frac{sin α + cos α}{sin α}} = \frac{cos α + sin α}{cos α} \cdot \frac{sin α}{sin α + cos α} = \frac{sin α}{cos α} = tg α$$

Найдем sin α, учитывая, что \frac{3π}{2} < α < 2π (4 четверть):

$$sin^2 α + cos^2 α = 1$$ $$sin^2 α = 1 - cos^2 α = 1 - (\frac{12}{13})^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169}{169} - \frac{144}{169} = \frac{25}{169}$$ $$sin α = ±\sqrt{\frac{25}{169}} = ±\frac{5}{13}$$

Так как \frac{3π}{2} < α < 2π, то sin α < 0, следовательно, sin α = -\frac{5}{13}.

Найдем tg α:

$$tg α = \frac{sin α}{cos α} = \frac{-\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}} = -\frac{5}{13} \cdot \frac{13}{12} = -\frac{5}{12}$$

Ответ: -\frac{5}{12}

1. б) \frac{sin α + cos α}{sin α - cos α}, если tg α = \frac{5}{4};

Разделим числитель и знаменатель на cos α:

$$\frac{sin α + cos α}{sin α - cos α} = \frac{\frac{sin α}{cos α} + \frac{cos α}{cos α}}{\frac{sin α}{cos α} - \frac{cos α}{cos α}} = \frac{tg α + 1}{tg α - 1}$$

Подставим tg α = \frac{5}{4}:

$$\frac{tg α + 1}{tg α - 1} = \frac{\frac{5}{4} + 1}{\frac{5}{4} - 1} = \frac{\frac{5}{4} + \frac{4}{4}}{\frac{5}{4} - \frac{4}{4}} = \frac{\frac{9}{4}}{\frac{1}{4}} = \frac{9}{4} \cdot \frac{4}{1} = 9$$

Ответ: 9

1. в) \frac{cos α + ctg α}{ctg α}, если cos α = -\frac{1}{3}, π< α < \frac{3 π}{2};

Преобразуем выражение:

$$\frac{cos α + ctg α}{ctg α} = \frac{cos α}{ctg α} + \frac{ctg α}{ctg α} = \frac{cos α}{\frac{cos α}{sin α}} + 1 = \frac{cos α \cdot sin α}{cos α} + 1 = sin α + 1$$

Найдем sin α, учитывая, что π< α < \frac{3 π}{2} (3 четверть):

$$sin^2 α + cos^2 α = 1$$ $$sin^2 α = 1 - cos^2 α = 1 - (-\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{9}{9} - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$$ $$sin α = ±\sqrt{\frac{8}{9}} = ±\frac{2\sqrt{2}}{3}$$

Так как π< α < \frac{3 π}{2}, то sin α < 0, следовательно, sin α = -\frac{2\sqrt{2}}{3}.

Найдем sin α + 1:

$$sin α + 1 = -\frac{2\sqrt{2}}{3} + 1 = 1 - \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{3}{3} - \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{3}$$

Ответ: $$\frac{3 - 2\sqrt{2}}{3}$$

1. г) sin² α cos² β, если cos² α - sin² β = 0,5.

Перемножим левую часть уравнения на 2:

$$sin^2 α - cos^2 β = 0.5$$

Ответ: 0,5