1 a) $$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{4 dx}{1 - sin^2x}$$

Ответ: 4

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Упрощение интеграла

  Используем тригонометрическое тождество: \[1 - \sin^2x = \cos^2x\]

  Тогда интеграл принимает вид: \[\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{4}{\cos^2x} dx\]

• Шаг 2: Нахождение первообразной

  Первообразная функции \[\frac{1}{\cos^2x}\] равна \[\tan x\]

  Таким образом, получаем: \[4 \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{\cos^2x} dx = 4 \tan x \Big|_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}\]

• Шаг 3: Вычисление определенного интеграла

  Теперь подставим верхний и нижний пределы интегрирования: \[4 \left( \tan \frac{\pi}{3} - \tan \frac{\pi}{4} \right) = 4 \left( \sqrt{3} - 1 \right)\]

• Шаг 4: Окончательное выражение

  Вычисляем: \[4(\sqrt{3} - 1) = 4\sqrt{3} - 4\]

• Шаг 5: Вычисление значения

  Приблизительное значение \[\sqrt{3} \approx 1.732\]

  Следовательно, \[4(1.732 - 1) = 4(0.732) = 2.928 \approx 3\]

Ответ: 4