a) |x + 9 | ≥ 9; б) |x – 8 | + |x + 8 | < 6;

a) |x + 9| ≥ 9

• Шаг 1: Раскрываем модуль с учетом знака выражения под модулем.

Рассмотрим два случая:

• Случай 1: x + 9 ≥ 0, то есть x ≥ -9. Тогда |x + 9| = x + 9

  Неравенство принимает вид: x + 9 ≥ 9

  Решаем неравенство: x ≥ 9 - 9

  x ≥ 0

  Учитывая условие x ≥ -9, получаем x ≥ 0

• Случай 2: x + 9 < 0, то есть x < -9. Тогда |x + 9| = -(x + 9)

  Неравенство принимает вид: -(x + 9) ≥ 9

  Решаем неравенство: -x - 9 ≥ 9

  -x ≥ 18

  x ≤ -18

  Учитывая условие x < -9, получаем x ≤ -18

• Шаг 2: Объединяем решения, полученные в обоих случаях.

Решением является объединение интервалов x ≥ 0 и x ≤ -18.

Ответ: x ≤ -18 или x ≥ 0

б) |x – 8| + |x + 8| < 6

• Шаг 1: Определяем точки, где выражения под модулями меняют знак.

x - 8 = 0 при x = 8

x + 8 = 0 при x = -8

Рассматриваем три интервала:

• Интервал 1: x < -8. Тогда |x - 8| = -(x - 8) и |x + 8| = -(x + 8)

  Неравенство принимает вид: -(x - 8) - (x + 8) < 6

  -x + 8 - x - 8 < 6

  -2x < 6

  x > -3

  Учитывая условие x < -8, получаем, что решений нет на этом интервале, так как -3 > -8.

• Интервал 2: -8 ≤ x < 8. Тогда |x - 8| = -(x - 8) и |x + 8| = x + 8

  Неравенство принимает вид: -(x - 8) + (x + 8) < 6

  -x + 8 + x + 8 < 6

  16 < 6

  Это неравенство не выполняется, следовательно, решений нет на этом интервале.

• Интервал 3: x ≥ 8. Тогда |x - 8| = x - 8 и |x + 8| = x + 8

  Неравенство принимает вид: (x - 8) + (x + 8) < 6

  x - 8 + x + 8 < 6

  2x < 6

  x < 3

  Учитывая условие x ≥ 8, получаем, что решений нет на этом интервале, так как 3 < 8.

• Шаг 2: Объединяем решения, полученные в каждом интервале.

Так как ни в одном из интервалов нет решений, то и общее решение отсутствует.

Ответ: Решений нет