А – 8 Решите уравнение в целых числах. №1. Найти множество всех пар натуральных чисел, которые являютТСЯ уравнения 49x + 51y = 602. решениями №2. Решить уравнение в целых числах 5x + 8y = 39. №3 числах уравнение 25х-18y+1=0.

Привет, давай решим эти уравнения вместе! Уверен, у нас всё получится!

№1. Найти множество всех пар натуральных чисел, которые являются решениями уравнения 49x + 51y = 602.

Для начала выразим одну переменную через другую, например, y через x:

\[51y = 602 - 49x\] \[y = \frac{602 - 49x}{51}\]

Теперь нам нужно найти такие натуральные значения x, чтобы y тоже был натуральным числом. То есть, 602 - 49x должно делиться на 51.

Давай переберем возможные значения x, начиная с 1:

Если x = 1, то y = (602 - 49) / 51 = 553 / 51 ≈ 10.84 (не натуральное)

Если x = 2, то y = (602 - 98) / 51 = 504 / 51 ≈ 9.88 (не натуральное)

Если x = 3, то y = (602 - 147) / 51 = 455 / 51 ≈ 8.92 (не натуральное)

Если x = 4, то y = (602 - 196) / 51 = 406 / 51 ≈ 7.96 (не натуральное)

Если x = 5, то y = (602 - 245) / 51 = 357 / 51 = 7 (натуральное)

Если x = 6, то y = (602 - 294) / 51 = 308 / 51 ≈ 6.04 (не натуральное)

Если x = 7, то y = (602 - 343) / 51 = 259 / 51 ≈ 5.08 (не натуральное)

Если x = 8, то y = (602 - 392) / 51 = 210 / 51 ≈ 4.12 (не натуральное)

Если x = 9, то y = (602 - 441) / 51 = 161 / 51 ≈ 3.16 (не натуральное)

Если x = 10, то y = (602 - 490) / 51 = 112 / 51 ≈ 2.20 (не натуральное)

Если x = 11, то y = (602 - 539) / 51 = 63 / 51 ≈ 1.24 (не натуральное)

Если x = 12, то y = (602 - 588) / 51 = 14 / 51 ≈ 0.27 (не натуральное)

Получается, что единственная пара натуральных чисел, удовлетворяющая уравнению, это x = 5 и y = 7.

Ответ: (5, 7)

№2. Решить уравнение в целых числах 5x + 8y = 39.

Выразим x через y:

\[5x = 39 - 8y\] \[x = \frac{39 - 8y}{5}\]

Теперь нам нужно найти такие целые значения y, чтобы x тоже был целым числом. То есть, 39 - 8y должно делиться на 5.

Давай переберем возможные значения y, начиная с 0:

Если y = 0, то x = 39 / 5 = 7.8 (не целое)

Если y = 1, то x = (39 - 8) / 5 = 31 / 5 = 6.2 (не целое)

Если y = 2, то x = (39 - 16) / 5 = 23 / 5 = 4.6 (не целое)

Если y = 3, то x = (39 - 24) / 5 = 15 / 5 = 3 (целое)

Если y = 4, то x = (39 - 32) / 5 = 7 / 5 = 1.4 (не целое)

Если y = -1, то x = (39 + 8) / 5 = 47 / 5 = 9.4 (не целое)

Если y = -2, то x = (39 + 16) / 5 = 55 / 5 = 11 (целое)

Если y = -3, то x = (39 + 24) / 5 = 63 / 5 = 12.6 (не целое)

Если y = -4, то x = (39 + 32) / 5 = 71 / 5 = 14.2 (не целое)

Получаем два решения: (3, 3) и (11, -2). Можно записать общее решение:

x = 3 + 8t

y = 3 - 5t, где t - любое целое число.

Ответ: x = 3 + 8t, y = 3 - 5t, где t - любое целое число.

№3. Решить в целых числах уравнение 25x - 18y + 1 = 0.

Выразим x через y:

\[25x = 18y - 1\] \[x = \frac{18y - 1}{25}\]

Теперь нам нужно найти такие целые значения y, чтобы x тоже был целым числом. То есть, 18y - 1 должно делиться на 25.

Чтобы решить это уравнение в целых числах, можно использовать расширенный алгоритм Евклида или попробовать подобрать решение.

Давай подберем решение:

Если y = 3, то x = (18 * 3 - 1) / 25 = 53 / 25 (не целое)

Если y = 4, то x = (18 * 4 - 1) / 25 = 71 / 25 (не целое)

Если y = -3, то x = (18 * (-3) - 1) / 25 = -55 / 25 (не целое)

Если y = -4, то x = (18 * (-4) - 1) / 25 = -73 / 25 (не целое)

Если y = 14, то x = (18 * 14 - 1) / 25 = (252 - 1) / 25 = 251 / 25 (не целое)

Если y = -14, то x = (18 * (-14) - 1) / 25 = -253 / 25 (не целое)

Если y = 8, то x = (18 * 8 - 1) / 25 = (144 - 1) / 25 = 143 / 25 (не целое)

Если y = 17, то x = (18 * 17 - 1) / 25 = (306 - 1) / 25 = 305 / 25 = 12.2 (не целое)

Если y = -8, то x = (18 * (-8) - 1) / 25 = -145 / 25 (не целое)

Если y = 13, то x = (18 * 13 - 1) / 25 = (234 - 1) / 25 = 233 / 25 (не целое)

Если y = 8, x= (18*8 -1)/25 = 143/25

Если y = -8, x= (18*-8 -1)/25 = -145/25

Заметим, что если y = 3, то 18*3 - 1 = 53 (53 mod 25 = 3)

Если взять y = 3 + 25 = 28, то 18*(3+25)-1 = 18*3 - 1 + 18*25 = 53 + 18*25 = 53 + 450 = 503

503 = 25*20 + 3 Значит остаток будет 3

Общее решение имеет вид y = 3 + 25t

x = 1

Тогда, x = (18y - 1)/25 = 18*(3+25t) - 1 = 54 + 18*25t - 1 = 53 + 18*25t = 53/25 + 18t

x = (18(3+25t) - 1)/25 = (54 + 450t - 1)/25 = (53 + 450t)/25 = 53/25 + 18t

Если у = 8, то x = (18*8 -1)/25 = 143/25 (нет)

Если y = 23, то x = (18*23 -1)/25 = (414-1)/25 =413/25

Если y = 10 то (18*10 - 1)/25 = 179/25

\[18y - 1 = 0 \mod 25\] \[18y = 1 \mod 25\] \[y = 18^{-1} \mod 25\]

18^-1(mod 25) = 7

y = 7

x = (18*7-1)/25 = 125/25= 5

Ответ: x = 5, y = 7

Молодец! Ты отлично справился с этими уравнениями. Продолжай в том же духе, и математика станет твоим любимым предметом!