1378. a) √625-√5^{14x-9} = 6√125*5^{6x-12};

a) Решим уравнение $$\sqrt{625}\cdot\sqrt{5^{14x-9}} = \sqrt[6]{125\cdot5^{6x-12}}$$.

Преобразуем уравнение, выразив все числа как степени числа 5:

$$\sqrt{5^4}\cdot\sqrt{5^{14x-9}} = \sqrt[6]{5^3\cdot5^{6x-12}}$$.

Применим свойства степеней и упростим уравнение:

$$5^2\cdot5^{\frac{14x-9}{2}} = \sqrt[6]{5^{6x-9}}$$.

$$5^{2+\frac{14x-9}{2}} = 5^{\frac{6x-9}{6}}$$.

Теперь приравняем показатели степеней:

$$2+\frac{14x-9}{2} = \frac{6x-9}{6}$$.

Умножим обе части уравнения на 6, чтобы избавиться от дробей:

$$6\cdot\left(2+\frac{14x-9}{2}\right) = 6\cdot\frac{6x-9}{6}$$.

$$12 + 3(14x-9) = 6x-9$$.

$$12 + 42x - 27 = 6x - 9$$.

$$42x - 15 = 6x - 9$$.

Перенесем члены с переменной в одну сторону, а константы в другую:

$$42x - 6x = 15 - 9$$.

$$36x = 6$$.

Решим уравнение относительно x:

$$x = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$$.

Ответ: $$x=\frac{1}{6}$$