2 a) ∫₁² (3x²-4x-2/x²)dx б) ∫₁(4(4√x - 3x²)dx в) ∫(π/2)(π/4) sin(2x-π/4)dx

а) ∫₁² (3x²-4x-2/x²)dx

Смотри, тут всё просто: сначала интегрируем функцию, а потом подставляем пределы интегрирования.

• Интегрируем функцию:

\[\int (3x^2 - 4x - \frac{2}{x^2}) dx = x^3 - 2x^2 + \frac{2}{x} + C\]

• Теперь подставляем пределы интегрирования:

\[(2^3 - 2(2^2) + \frac{2}{2}) - (1^3 - 2(1^2) + \frac{2}{1}) = (8 - 8 + 1) - (1 - 2 + 2) = 1 - 1 = 0\]

Ответ: 0

б) ∫₁⁴ (4√x - 3x²)dx

Разбираемся: интегрируем каждый член отдельно и подставляем пределы.

• Интегрируем функцию:

\[\int (4\sqrt{x} - 3x^2) dx = \int (4x^{1/2} - 3x^2) dx = 4 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - 3 \cdot \frac{x^3}{3} + C = \frac{8}{3}x^{3/2} - x^3 + C\]

• Подставляем пределы интегрирования:

\[(\frac{8}{3}(4)^{3/2} - (4)^3) - (\frac{8}{3}(1)^{3/2} - (1)^3) = (\frac{8}{3} \cdot 8 - 64) - (\frac{8}{3} - 1) = \frac{64}{3} - 64 - \frac{8}{3} + 1 = \frac{56}{3} - 63 = \frac{56 - 189}{3} = -\frac{133}{3}\]

Ответ: -133/3

в) ∫(π/4)^(π/2) sin(2x - π/4) dx

Логика такая: сначала интегрируем, используя замену переменной, а затем подставляем пределы интегрирования.

• Интегрируем функцию:

\[\int sin(2x - \frac{\pi}{4}) dx\]

Делаем замену: \(u = 2x - \frac{\pi}{4}\), тогда \(du = 2 dx\), и \(dx = \frac{1}{2} du\).

\[\frac{1}{2} \int sin(u) du = -\frac{1}{2} cos(u) + C = -\frac{1}{2} cos(2x - \frac{\pi}{4}) + C\]

• Подставляем пределы интегрирования:

\[-\frac{1}{2} [cos(2 \cdot \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}) - cos(2 \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4})] = -\frac{1}{2} [cos(\frac{3\pi}{4}) - cos(\frac{\pi}{4})] = -\frac{1}{2} [-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}] = -\frac{1}{2} [-\sqrt{2}] = \frac{\sqrt{2}}{2}\]

Ответ: √2/2