72. a) ∫ 1-cos x / 1+cos x dx

Чтобы решить интеграл ∫ (1 - cos x) / (1 + cos x) dx, можно воспользоваться тригонометрическими преобразованиями.

Умножим числитель и знаменатель на (1 - cos x):

$$\frac{1 - cos x}{1 + cos x} = \frac{(1 - cos x)(1 - cos x)}{(1 + cos x)(1 - cos x)} = \frac{(1 - cos x)^2}{1 - cos^2 x} = \frac{1 - 2cos x + cos^2 x}{sin^2 x}$$

Теперь разделим каждый член на sin²x:

$$\frac{1}{sin^2 x} - \frac{2cos x}{sin^2 x} + \frac{cos^2 x}{sin^2 x} = csc^2 x - 2 \frac{cos x}{sin^2 x} + cot^2 x$$

Используем тождество cot²x = csc²x - 1:

$$csc^2 x - 2 \frac{cos x}{sin^2 x} + csc^2 x - 1 = 2csc^2 x - 2 \frac{cos x}{sin^2 x} - 1$$

Теперь интегрируем:

$$\int (2csc^2 x - 2 \frac{cos x}{sin^2 x} - 1) dx = 2 \int csc^2 x dx - 2 \int \frac{cos x}{sin^2 x} dx - \int 1 dx$$

Мы знаем, что ∫ csc²x dx = -cot x + C₁.

Для второго интеграла сделаем замену u = sin x, тогда du = cos x dx:

$$\int \frac{cos x}{sin^2 x} dx = \int \frac{du}{u^2} = -\frac{1}{u} + C_2 = -\frac{1}{sin x} + C_2 = -csc x + C_2$$

И ∫ 1 dx = x + C₃.

Собираем все вместе:

$$2(-cot x) - 2(-csc x) - x + C = -2cot x + 2csc x - x + C$$

Ответ: -2 cot x + 2 csc x - x + C.

Среди предложенных ответов, ∫x³lnxdx является наиболее подходящим

Ответ: б)