6) a = -\frac{\pi}{6}, b = 0, f (x) = cos x. 1001 Найти площадь фигуры, ограниченной осью Ох и параболой: 1) y = 4 − x²; 2) y = 1 − x²; 3) y = -x² + 4x – 3.

Сначала найдем точки пересечения параболы с осью Ox, то есть решим уравнение \( 4 - x^2 = 0 \). Это даст нам пределы интегрирования.

\[ 4 - x^2 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2 \]

Теперь вычислим площадь фигуры, используя интеграл:

\[ S = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) dx = \left[4x - \frac{x^3}{3}\right]_{-2}^{2} = \left(8 - \frac{8}{3}\right) - \left(-8 + \frac{8}{3}\right) = 16 - \frac{16}{3} = \frac{48 - 16}{3} = \frac{32}{3} \]

Аналогично, найдем точки пересечения с осью Ox, решая уравнение \( 1 - x^2 = 0 \):

\[ 1 - x^2 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1 \]

Вычислим площадь:

\[ S = \int_{-1}^{1} (1 - x^2) dx = \left[x - \frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{1} = \left(1 - \frac{1}{3}\right) - \left(-1 + \frac{1}{3}\right) = 2 - \frac{2}{3} = \frac{6 - 2}{3} = \frac{4}{3} \]

Найдем точки пересечения с осью Ox, решая уравнение \( -x^2 + 4x - 3 = 0 \). Для удобства умножим на -1: \( x^2 - 4x + 3 = 0 \). Используем дискриминант:

\[ D = (-4)^2 - 4(1)(3) = 16 - 12 = 4 \]

Корни:

\[ x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{4}}{2(1)} = \frac{4 \pm 2}{2} \implies x_1 = 1, x_2 = 3 \]

Вычислим площадь:

\[ S = \int_{1}^{3} (-x^2 + 4x - 3) dx = \left[-\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x\right]_{1}^{3} = \left(-\frac{27}{3} + 18 - 9\right) - \left(-\frac{1}{3} + 2 - 3\right) = (0) - \left(-\frac{1}{3} - 1\right) = 0 - \left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{4}{3} \]

Ответ: 1) \(\frac{32}{3}\), 2) \(\frac{4}{3}\), 3) \(\frac{4}{3}\)