Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
А - 10. Зачет. Тригонометрические уравнения. Часть 1. (базовый уровень) Вариант 2. № 1. Решите уравнения: 1) sin1 = 2) cost = 3) ctgx = 4) sin 4 √3 1. = 5) cos 4x = -1; 6) 2cos()=√3; 7) 3 sin² 2x+10 sin 2x + 3 = 0; 8)7c18²+2018-5=0; 9) 2 sin²x-3 sin x cos x + 4 cos² x = 4; 10) (1-sinx)(√2cosx-1)=0. Часть 2. (профильный уровень) № 2. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения sin 2x = sin x. № 3. Пусть хо - наибольший отрицательный корень уравнения sin²x + 2 sin x cos x - 3 cos² x = 0. Найдите tg xo. № 4. Решите уравнение 2sin³ x-2sinx+cos2x = 0. Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-;-2π 2 № 5. Решите уравнение 2sinx+3 cos2x+1=0. Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [п; 3].
Ответ:
Краткое пояснение: Решаем тригонометрические уравнения базового и профильного уровней, используя различные методы и формулы.
Часть 1. (базовый уровень)
№ 1. Решите уравнения:
1) \(\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(t = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, t = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\)
\(t = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, t = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\)
2) \(\cos t = \frac{1}{2}\)
\(t = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\)
\(t = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\)
3) \(\operatorname{ctg} x = -\frac{\sqrt{3}}{3}\)
\(x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\)
\(x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\)
4) \(\sin \frac{x}{4} = \frac{1}{2}\)
\(\frac{x}{4} = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{x}{4} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n\)
\(x = \frac{2\pi}{3} + 8\pi n, x = \frac{10\pi}{3} + 8\pi n, n \in \mathbb{Z}\)
\(\frac{x}{4} = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{x}{4} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n\)
\(x = \frac{2\pi}{3} + 8\pi n, x = \frac{10\pi}{3} + 8\pi n, n \in \mathbb{Z}\)
5) \(\cos 4x = -1\)
\(4x = \pi + 2\pi n\)
\(x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} n, n \in \mathbb{Z}\)
\(4x = \pi + 2\pi n\)
\(x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} n, n \in \mathbb{Z}\)
6) \(2 \cos \left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}\)
\(\cos \left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n\)
\(\frac{x}{2} = \frac{\pi}{6} \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n\)
\(x = \frac{\pi}{3} \pm \frac{\pi}{3} + 4\pi n\)
\(x = \frac{2\pi}{3} + 4\pi n, x = 4\pi n, n \in \mathbb{Z}\)
\(\cos \left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n\)
\(\frac{x}{2} = \frac{\pi}{6} \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n\)
\(x = \frac{\pi}{3} \pm \frac{\pi}{3} + 4\pi n\)
\(x = \frac{2\pi}{3} + 4\pi n, x = 4\pi n, n \in \mathbb{Z}\)
7) \(3 \sin^2 2x + 10 \sin 2x + 3 = 0\)
Пусть \(y = \sin 2x\), тогда \(3y^2 + 10y + 3 = 0\)
\(D = 100 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64\)
\(y_1 = \frac{-10 + 8}{6} = -\frac{1}{3}, y_2 = \frac{-10 - 8}{6} = -3\)
\(\sin 2x = -\frac{1}{3}, \sin 2x = -3\) (не имеет решений, так как \(|\sin 2x| \le 1\))
\(2x = \arcsin \left(-\frac{1}{3}\right) + 2\pi n, 2x = \pi - \arcsin \left(-\frac{1}{3}\right) + 2\pi n\)
\(x = \frac{1}{2} \arcsin \left(-\frac{1}{3}\right) + \pi n, x = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} \arcsin \left(-\frac{1}{3}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}\)
Пусть \(y = \sin 2x\), тогда \(3y^2 + 10y + 3 = 0\)
\(D = 100 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64\)
\(y_1 = \frac{-10 + 8}{6} = -\frac{1}{3}, y_2 = \frac{-10 - 8}{6} = -3\)
\(\sin 2x = -\frac{1}{3}, \sin 2x = -3\) (не имеет решений, так как \(|\sin 2x| \le 1\))
\(2x = \arcsin \left(-\frac{1}{3}\right) + 2\pi n, 2x = \pi - \arcsin \left(-\frac{1}{3}\right) + 2\pi n\)
\(x = \frac{1}{2} \arcsin \left(-\frac{1}{3}\right) + \pi n, x = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} \arcsin \left(-\frac{1}{3}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}\)
8) \(7 \operatorname{ctg}^2 \frac{x}{2} + 2 \operatorname{ctg} \frac{x}{2} - 5 = 0\)
Пусть \(y = \operatorname{ctg} \frac{x}{2}\), тогда \(7y^2 + 2y - 5 = 0\)
\(D = 4 - 4 \cdot 7 \cdot (-5) = 4 + 140 = 144\)
\(y_1 = \frac{-2 + 12}{14} = \frac{5}{7}, y_2 = \frac{-2 - 12}{14} = -1\)
\(\operatorname{ctg} \frac{x}{2} = \frac{5}{7}, \operatorname{ctg} \frac{x}{2} = -1\)
\(\frac{x}{2} = \operatorname{arcctg} \frac{5}{7} + \pi n, \frac{x}{2} = -\frac{\pi}{4} + \pi n\)
\(x = 2 \operatorname{arcctg} \frac{5}{7} + 2\pi n, x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\)
Пусть \(y = \operatorname{ctg} \frac{x}{2}\), тогда \(7y^2 + 2y - 5 = 0\)
\(D = 4 - 4 \cdot 7 \cdot (-5) = 4 + 140 = 144\)
\(y_1 = \frac{-2 + 12}{14} = \frac{5}{7}, y_2 = \frac{-2 - 12}{14} = -1\)
\(\operatorname{ctg} \frac{x}{2} = \frac{5}{7}, \operatorname{ctg} \frac{x}{2} = -1\)
\(\frac{x}{2} = \operatorname{arcctg} \frac{5}{7} + \pi n, \frac{x}{2} = -\frac{\pi}{4} + \pi n\)
\(x = 2 \operatorname{arcctg} \frac{5}{7} + 2\pi n, x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\)
9) \(2 \sin^2 x - 3 \sin x \cos x + 4 \cos^2 x = 4\)
\(2 \sin^2 x - 3 \sin x \cos x + 4 \cos^2 x = 4(\sin^2 x + \cos^2 x)\)
\(2 \sin^2 x - 3 \sin x \cos x + 4 \cos^2 x = 4\sin^2 x + 4\cos^2 x\)
\(2 \sin^2 x + 3 \sin x \cos x = 0\)
\(\sin x (2 \sin x + 3 \cos x) = 0\)
\(\sin x = 0, 2 \sin x + 3 \cos x = 0\)
\(x = \pi n, 2 \sin x = -3 \cos x\)
\(\operatorname{tg} x = -\frac{3}{2}\)
\(x = \pi n, x = \operatorname{arctg} \left(-\frac{3}{2}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}\)
\(2 \sin^2 x - 3 \sin x \cos x + 4 \cos^2 x = 4(\sin^2 x + \cos^2 x)\)
\(2 \sin^2 x - 3 \sin x \cos x + 4 \cos^2 x = 4\sin^2 x + 4\cos^2 x\)
\(2 \sin^2 x + 3 \sin x \cos x = 0\)
\(\sin x (2 \sin x + 3 \cos x) = 0\)
\(\sin x = 0, 2 \sin x + 3 \cos x = 0\)
\(x = \pi n, 2 \sin x = -3 \cos x\)
\(\operatorname{tg} x = -\frac{3}{2}\)
\(x = \pi n, x = \operatorname{arctg} \left(-\frac{3}{2}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}\)
10) \((1 - \sin x)(\sqrt{2} \cos x - 1) = 0\)
\(1 - \sin x = 0, \sqrt{2} \cos x - 1 = 0\)
\(\sin x = 1, \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\)
\(1 - \sin x = 0, \sqrt{2} \cos x - 1 = 0\)
\(\sin x = 1, \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\)
Часть 2. (профильный уровень)
№ 2. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения \(\sin 2x = \sin x\).
\(\sin 2x = \sin x\)
\(2 \sin x \cos x = \sin x\)
\(\sin x (2 \cos x - 1) = 0\)
\(\sin x = 0, 2 \cos x - 1 = 0\)
\(x = \pi n, \cos x = \frac{1}{2}\)
\(x = \pi n, x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\)
Наибольший отрицательный корень: \(x = -\frac{\pi}{3}\)
\(2 \sin x \cos x = \sin x\)
\(\sin x (2 \cos x - 1) = 0\)
\(\sin x = 0, 2 \cos x - 1 = 0\)
\(x = \pi n, \cos x = \frac{1}{2}\)
\(x = \pi n, x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\)
Наибольший отрицательный корень: \(x = -\frac{\pi}{3}\)
№ 3. Пусть \(x_0\) - наибольший отрицательный корень уравнения \(\sin^2 x + 2 \sin x \cos x - 3 \cos^2 x = 0\). Найдите \(\operatorname{tg} x_0\).
\(\sin^2 x + 2 \sin x \cos x - 3 \cos^2 x = 0\)
Разделим обе части уравнения на \(\cos^2 x\) (если \(\cos x = 0\), то \(\sin x = 0\), что невозможно).
\(\operatorname{tg}^2 x + 2 \operatorname{tg} x - 3 = 0\)
Пусть \(y = \operatorname{tg} x\), тогда \(y^2 + 2y - 3 = 0\)
\(y_1 = -3, y_2 = 1\)
\(\operatorname{tg} x = -3, \operatorname{tg} x = 1\)
\(x = \operatorname{arctg} (-3) + \pi n, x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\)
Наибольший отрицательный корень: \(x_0 = \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3\pi}{4}\)
\(\operatorname{tg} x_0 = \operatorname{tg} \left(-\frac{3\pi}{4}\right) = 1\)
Разделим обе части уравнения на \(\cos^2 x\) (если \(\cos x = 0\), то \(\sin x = 0\), что невозможно).
\(\operatorname{tg}^2 x + 2 \operatorname{tg} x - 3 = 0\)
Пусть \(y = \operatorname{tg} x\), тогда \(y^2 + 2y - 3 = 0\)
\(y_1 = -3, y_2 = 1\)
\(\operatorname{tg} x = -3, \operatorname{tg} x = 1\)
\(x = \operatorname{arctg} (-3) + \pi n, x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\)
Наибольший отрицательный корень: \(x_0 = \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3\pi}{4}\)
\(\operatorname{tg} x_0 = \operatorname{tg} \left(-\frac{3\pi}{4}\right) = 1\)
№ 4. Решите уравнение \(2 \sin^3 x - 2 \sin x + \cos^2 x = 0\). Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \(\left[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi\right]\).
\(2 \sin^3 x - 2 \sin x + \cos^2 x = 0\)
\(2 \sin^3 x - 2 \sin x + 1 - \sin^2 x = 0\)
\(2 \sin^3 x - \sin^2 x - 2 \sin x + 1 = 0\)
\(\sin^2 x (2 \sin x - 1) - (2 \sin x - 1) = 0\)
\((2 \sin x - 1)(\sin^2 x - 1) = 0\)
\((2 \sin x - 1)(\sin x - 1)(\sin x + 1) = 0\)
\(2 \sin x - 1 = 0, \sin x - 1 = 0, \sin x + 1 = 0\)
\(\sin x = \frac{1}{2}, \sin x = 1, \sin x = -1\)
\(x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\)
Из промежутка \(\left[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi\right]\) подходят корни:
\(x = -\frac{11\pi}{6}, x = -\frac{13\pi}{6}, x = -\frac{5\pi}{2}\)
\(2 \sin^3 x - 2 \sin x + 1 - \sin^2 x = 0\)
\(2 \sin^3 x - \sin^2 x - 2 \sin x + 1 = 0\)
\(\sin^2 x (2 \sin x - 1) - (2 \sin x - 1) = 0\)
\((2 \sin x - 1)(\sin^2 x - 1) = 0\)
\((2 \sin x - 1)(\sin x - 1)(\sin x + 1) = 0\)
\(2 \sin x - 1 = 0, \sin x - 1 = 0, \sin x + 1 = 0\)
\(\sin x = \frac{1}{2}, \sin x = 1, \sin x = -1\)
\(x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\)
Из промежутка \(\left[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi\right]\) подходят корни:
\(x = -\frac{11\pi}{6}, x = -\frac{13\pi}{6}, x = -\frac{5\pi}{2}\)
№ 5. Решите уравнение \(2 \sin^4 x + 3 \cos 2x + 1 = 0\). Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \([\pi; 3\pi]\).
\(2 \sin^4 x + 3 \cos 2x + 1 = 0\)
\(2 \sin^4 x + 3 (1 - 2 \sin^2 x) + 1 = 0\)
\(2 \sin^4 x - 6 \sin^2 x + 4 = 0\)
\(\sin^4 x - 3 \sin^2 x + 2 = 0\)
Пусть \(y = \sin^2 x\), тогда \(y^2 - 3y + 2 = 0\)
\(y_1 = 1, y_2 = 2\)
\(\sin^2 x = 1, \sin^2 x = 2\) (не имеет решений, так как \(\sin^2 x \le 1\))
\(\sin x = \pm 1\)
\(x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\)
Из промежутка \([\pi; 3\pi]\) подходят корни:
\(x = \frac{3\pi}{2}, x = \frac{5\pi}{2}\)
\(2 \sin^4 x + 3 (1 - 2 \sin^2 x) + 1 = 0\)
\(2 \sin^4 x - 6 \sin^2 x + 4 = 0\)
\(\sin^4 x - 3 \sin^2 x + 2 = 0\)
Пусть \(y = \sin^2 x\), тогда \(y^2 - 3y + 2 = 0\)
\(y_1 = 1, y_2 = 2\)
\(\sin^2 x = 1, \sin^2 x = 2\) (не имеет решений, так как \(\sin^2 x \le 1\))
\(\sin x = \pm 1\)
\(x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\)
Из промежутка \([\pi; 3\pi]\) подходят корни:
\(x = \frac{3\pi}{2}, x = \frac{5\pi}{2}\)
Ответ: Ответы выше.
