а) 2; б) 5; в) 12; г) 12,5; д) другой ответ. 7. В треугольнике ABC точки F и Е принадлежат сторонам СВ и АВ соответственно, причём ВЕ: ЕА = 2: 3. Через эти точки провели плоскость, параллельную АС. Найдите отношение BF: FC. a) 3:2; 6) 2:3; в) 3:5; г) 2:5; д) определить нельзя. 8. Прямая а параллельна плоскости а, точка М принадлежит этой плоскости. Выберите верное утверждение. а) точка М принадлежит прямой а; б) любая прямая, проходящая через точку М, будет параллельна прямой а; в) в плоскости а существует прямая, проходящая через точку М и параллельная прямой а; г) существует прямая, не лежащая в плоскости а, которая проходит через точку М и параллельная прямой а; д) в плоскости а существуют две прямые, проходящие через точку М и параллельные прямой а. 9. На рисунке точки М, Н, К – середины соответственно сторон AD, DC, CB. MP || (BCD). Найдите периметр четырёхугольника МНКР, если АС = 10, BD = 8. а) 18; б) 26; в) 28; г) 36; д) определить нельзя. 10. На сторонах DE и DF треугольника DEF взяли соответственно точки А и В так, что АВ = 6см, ЕA : DA = 2 : 3, провели плоскость через точки Е и F параллельно к отрезку АВ. Найдите длину отрезка EF. А) 9см; б) 10см; в) 4см; г) определить нельзя; д) 3,6см.

Ответ: 3:2

Решение задачи 7:

Пусть дана плоскость, проходящая через точки E и F и параллельная AC. Так как плоскость EFC параллельна AC, то EF || AC. Рассмотрим треугольники BEF и BAC. Они подобны, так как угол B общий и EF || AC.

Из подобия треугольников следует, что BF/BC = BE/BA.

По условию BE : EA = 2 : 3, следовательно, BE/BA = 2/(2+3) = 2/5.

Тогда BF/BC = 2/5, а значит, BF = (2/5) * BC.

FC = BC - BF = BC - (2/5) * BC = (3/5) * BC.

Теперь найдем отношение BF : FC = ((2/5) * BC) / ((3/5) * BC) = 2/3.

Ответ: 2:3

Решение задачи 8:

Ответ: в) в плоскости α существует прямая, проходящая через точку M и параллельная прямой a.

• Если прямая а параллельна плоскости α, то это означает, что прямая а и плоскость α не имеют общих точек.
• Если точка M принадлежит плоскости α, то через эту точку можно провести прямую, параллельную прямой а.

Ответ: в) в плоскости α существует прямая, проходящая через точку M и параллельная прямой a.

Решение задачи 9:

Ответ: 18

Так как M, H, K - середины сторон, то MH и HK - средние линии треугольников ADC и DBC соответственно.

• MH = 1/2 * AC = 1/2 * 10 = 5
• HK = 1/2 * BD = 1/2 * 8 = 4

Так как MP || (BCD), то MP || HK и PK || MH, следовательно, MNHK - параллелограмм.

Тогда MK = HK = 4, PH = MH = 5.

Периметр параллелограмма MNHK равен 2 * (MH + HK) = 2 * (5 + 4) = 2 * 9 = 18.

Ответ: 18

Решение задачи 10:

Ответ: 10см

Так как плоскость, проведенная через точки E и F, параллельна AB, то EF || AB. Рассмотрим треугольники DEF и AEB. Они подобны.

Из подобия следует, что DE/DA = EF/AB.

По условию EA : DA = 2 : 3, следовательно, DE/DA = (2 + 3) / 3 = 5/3.

Тогда EF/AB = 5/3, а значит, EF = (5/3) * AB = (5/3) * 6 = 10 см.

Ответ: 10см