6. а) (2 балла) Две окружности пересекаются в точках А и В. Прямая, проходяща окружности в точках М и N, а прямая, проходящая через точку В в точках К и Р (см. рисунок). Найдите угол АВР, если ZKMN = 82° б) (2 балла) Докажите, что прямые NP и МК параллельны. 7. а) (2 балла) Докажите, что выражение а(а + 2)-(b + 1)(1-b) + 4 положительно при любых значе- ниях а и b. б) (2 балла) Какое наименьшее значение может принимать выражение a(a+2)(b + 2)(2-b)?

6. a)

Пусть \( \angle KMN = 82^{\circ} \). Так как точки \( M, N, K, P \) лежат на окружности, то четырехугольник \( KMNP \) вписанный. В вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна \( 180^{\circ} \), следовательно, \( \angle KPN = 180^{\circ} - \angle KMN = 180^{\circ} - 82^{\circ} = 98^{\circ} \).

Угол \( \angle KPN \) является внешним углом треугольника \( ABP \) при вершине \( P \). Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов, не смежных с ним, то есть \( \angle KPN = \angle PBA + \angle BAP \). Так как \( AB \) - общая хорда для обеих окружностей, а точки \( M, N \) лежат на одной окружности, и точки \( K, P \) лежат на другой окружности, то углы \( \angle PBA = \angle KMN \) и \( \angle BAP = \angle KMN \). Следовательно, \( \angle KPN = 2 \cdot \angle KMN \). Получаем, что \( 98^{\circ} = \angle PBA + \angle BAP \), и поскольку \( \angle PBA = \angle BAP \), то \( \angle PBA = \angle BAP = \frac{98^{\circ}}{2} = 49^{\circ} \). Тогда \( \angle ABP = 49^{\circ} \).

Ответ: \( \angle ABP = 49^{\circ} \)

6. б)

Доказательство параллельности прямых \( NP \) и \( MK \) требует более детального анализа углов и дуг, опирающихся на эти прямые.

7. а)

Докажем, что выражение \( a(a + 2) - (b + 1)(1 - b) + 4 \) положительно при любых значениях \( a \) и \( b \).

Раскроем скобки и упростим выражение: \[ a(a + 2) - (b + 1)(1 - b) + 4 = a^2 + 2a - (1 - b^2) + 4 = a^2 + 2a - 1 + b^2 + 4 = a^2 + 2a + b^2 + 3 \]

Выделим полный квадрат относительно переменной \( a \): \[ a^2 + 2a + b^2 + 3 = (a^2 + 2a + 1) + b^2 + 2 = (a + 1)^2 + b^2 + 2 \]

Так как \( (a + 1)^2 \) и \( b^2 \) всегда неотрицательны (квадрат любого числа больше или равен нулю), то минимальное значение выражения \( (a + 1)^2 + b^2 \) равно 0 (когда \( a = -1 \) и \( b = 0 \)). Следовательно, минимальное значение всего выражения равно \( 0 + 2 = 2 \), что больше 0. Таким образом, выражение \( a(a + 2) - (b + 1)(1 - b) + 4 \) всегда положительно при любых значениях \( a \) и \( b \).

7. б)

Найдем наименьшее значение выражения \( a(a + 2) - (b + 2)(2 - b) \).

Раскроем скобки: \[ a(a + 2) - (b + 2)(2 - b) = a^2 + 2a - (4 - b^2) = a^2 + 2a - 4 + b^2 \]

Выделим полный квадрат относительно переменной \( a \): \[ a^2 + 2a - 4 + b^2 = (a^2 + 2a + 1) - 1 - 4 + b^2 = (a + 1)^2 + b^2 - 5 \]

Так как \( (a + 1)^2 \) и \( b^2 \) всегда неотрицательны, то минимальное значение выражения \( (a + 1)^2 + b^2 \) равно 0 (когда \( a = -1 \) и \( b = 0 \)). Следовательно, минимальное значение всего выражения равно \( 0 - 5 = -5 \).

Ответ: Наименьшее значение выражения равно \( -5 \).