023.4. a) 3 tg² x + 2 tg x - 1 = 0; 2 6) ctg² 2x - 6 ctg 2x + 5 = 0; B) 2tg²x + 3 tg x - 2 = 0; r) 7 ctg² + 2 ctg= 5. X г) 2

Ответ: a) x = arctg(-1) + \(\pi\)n, x = arctg(1/3) + \(\pi\)n; б) x = arctg(1/2) + \(\pi\)n; в) x = arctg(1/2) + \(\pi\)n, x = arctg(-2) + \(\pi\)n; г) x = 2arctg(-1) + 2\(\pi\)n, x = 2arctg(5/7) + 2\(\pi\)n.

Решение:

a) 3 tg² x + 2 tg x - 1 = 0

Пусть t = tg x, тогда уравнение принимает вид:

3t² + 2t - 1 = 0

Решаем квадратное уравнение:

D = 2² - 4 * 3 * (-1) = 4 + 12 = 16

t₁ = (-2 + √16) / (2 * 3) = (-2 + 4) / 6 = 2 / 6 = 1/3

t₂ = (-2 - √16) / (2 * 3) = (-2 - 4) / 6 = -6 / 6 = -1

Возвращаемся к замене:

tg x = 1/3 => x = arctg(1/3) + \(\pi\)n, где n ∈ Z

tg x = -1 => x = arctg(-1) + \(\pi\)n, где n ∈ Z

б) ctg² 2x - 6 ctg 2x + 5 = 0

Пусть t = ctg 2x, тогда уравнение принимает вид:

t² - 6t + 5 = 0

Решаем квадратное уравнение:

D = (-6)² - 4 * 1 * 5 = 36 - 20 = 16

t₁ = (6 + √16) / (2 * 1) = (6 + 4) / 2 = 10 / 2 = 5

t₂ = (6 - √16) / (2 * 1) = (6 - 4) / 2 = 2 / 2 = 1

Возвращаемся к замене:

ctg 2x = 5 => 2x = arcctg(5) + \(\pi\)n => x = 1/2 arcctg(5) + \(\pi\)n/2, где n ∈ Z

ctg 2x = 1 => 2x = arcctg(1) + \(\pi\)n => x = 1/2 * \(\pi\)/4 + \(\pi\)n/2 => x = \(\pi\)/8 + \(\pi\)n/2, где n ∈ Z

в) 2 tg² x + 3 tg x - 2 = 0

Пусть t = tg x, тогда уравнение принимает вид:

2t² + 3t - 2 = 0

Решаем квадратное уравнение:

D = 3² - 4 * 2 * (-2) = 9 + 16 = 25

t₁ = (-3 + √25) / (2 * 2) = (-3 + 5) / 4 = 2 / 4 = 1/2

t₂ = (-3 - √25) / (2 * 2) = (-3 - 5) / 4 = -8 / 4 = -2

Возвращаемся к замене:

tg x = 1/2 => x = arctg(1/2) + \(\pi\)n, где n ∈ Z

tg x = -2 => x = arctg(-2) + \(\pi\)n, где n ∈ Z

г) 7 ctg² (x/2) + 2 ctg (x/2) = 5

7 ctg² (x/2) + 2 ctg (x/2) - 5 = 0

Пусть t = ctg (x/2), тогда уравнение принимает вид:

7t² + 2t - 5 = 0

Решаем квадратное уравнение:

D = 2² - 4 * 7 * (-5) = 4 + 140 = 144

t₁ = (-2 + √144) / (2 * 7) = (-2 + 12) / 14 = 10 / 14 = 5/7

t₂ = (-2 - √144) / (2 * 7) = (-2 - 12) / 14 = -14 / 14 = -1

Возвращаемся к замене:

ctg (x/2) = 5/7 => x/2 = arcctg(5/7) + \(\pi\)n => x = 2 * arcctg(5/7) + 2\(\pi\)n, где n ∈ Z

ctg (x/2) = -1 => x/2 = arcctg(-1) + \(\pi\)n => x = 2 * arcctg(-1) + 2\(\pi\)n, где n ∈ Z

Ответ: a) x = arctg(-1) + \(\pi\)n, x = arctg(1/3) + \(\pi\)n; б) x = arctg(1/2) + \(\pi\)n; в) x = arctg(1/2) + \(\pi\)n, x = arctg(-2) + \(\pi\)n; г) x = 2arctg(-1) + 2\(\pi\)n, x = 2arctg(5/7) + 2\(\pi\)n.