167.- a) 3 tg2 x + 2 tg x − 1 = 0; B) 2 tg2 x + 3 tg x - 2 = 0; 168. a) 2 cos² x + √3 cos x = 0; B) √3 tg2x-3 tg x = 0; 6) tg x - 2 ctg x + 1 = 0; г) 2 ctg x - 3 tg x + 5 = 0. б) 4 cos² x - 3 = 0; г) 4 sin²x - 1 = 0.

Давай решим эти уравнения по порядку! 167. a) \(3 \tan^2 x + 2 \tan x - 1 = 0\) Пусть \(t = \tan x\), тогда уравнение примет вид: \[3t^2 + 2t - 1 = 0\] Дискриминант: \(D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16\) Корни: \[t_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\] \[t_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 - 4}{6} = \frac{-6}{6} = -1\] Тогда: \[\tan x = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \arctan(\frac{1}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}\] \[\tan x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\] Ответ: \[x = \arctan(\frac{1}{3}) + \pi n, x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\] 167. в) \(2 \tan^2 x + 3 \tan x - 2 = 0\) Пусть \(t = \tan x\), тогда уравнение примет вид: \[2t^2 + 3t - 2 = 0\] Дискриминант: \(D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25\) Корни: \[t_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\] \[t_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2\] Тогда: \[\tan x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \arctan(\frac{1}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}\] \[\tan x = -2 \Rightarrow x = \arctan(-2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}\] Ответ: \[x = \arctan(\frac{1}{2}) + \pi n, x = \arctan(-2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}\] 167. б) \(\tan x - 2 \cot x + 1 = 0\) Заменим \(\cot x = \frac{1}{\tan x}\): \[\tan x - \frac{2}{\tan x} + 1 = 0\] Пусть \(t = \tan x\), тогда уравнение примет вид: \[t - \frac{2}{t} + 1 = 0\] \[t^2 + t - 2 = 0\] Дискриминант: \(D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\) Корни: \[t_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1\] \[t_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2\] Тогда: \[\tan x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\] \[\tan x = -2 \Rightarrow x = \arctan(-2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}\] Ответ: \[x = \frac{\pi}{4} + \pi n, x = \arctan(-2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}\] 167. г) \(2 \cot x - 3 \tan x + 5 = 0\) Заменим \(\cot x = \frac{1}{\tan x}\): \[\frac{2}{\tan x} - 3 \tan x + 5 = 0\] Пусть \(t = \tan x\), тогда уравнение примет вид: \[\frac{2}{t} - 3t + 5 = 0\] \[-3t^2 + 5t + 2 = 0\] \[3t^2 - 5t - 2 = 0\] Дискриминант: \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49\) Корни: \[t_1 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2\] \[t_2 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 7}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}\] Тогда: \[\tan x = 2 \Rightarrow x = \arctan(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}\] \[\tan x = -\frac{1}{3} \Rightarrow x = \arctan(-\frac{1}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}\] Ответ: \[x = \arctan(2) + \pi n, x = \arctan(-\frac{1}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}\] 168. a) \(2 \cos^2 x + \sqrt{3} \cos x = 0\) Вынесем \(\cos x\) за скобки: \[\cos x (2 \cos x + \sqrt{3}) = 0\] Тогда: \[\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\] \[2 \cos x + \sqrt{3} = 0 \Rightarrow \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\] Ответ: \[x = \frac{\pi}{2} + \pi n, x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\] 168. в) \(\sqrt{3} \tan^2 x - 3 \tan x = 0\) Вынесем \(\tan x\) за скобки: \[\tan x (\sqrt{3} \tan x - 3) = 0\] Тогда: \[\tan x = 0 \Rightarrow x = \pi n, n \in \mathbb{Z}\] \[\sqrt{3} \tan x - 3 = 0 \Rightarrow \tan x = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \Rightarrow x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\] Ответ: \[x = \pi n, x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\] 168. б) \(4 \cos^2 x - 3 = 0\) \[4 \cos^2 x = 3\] \[\cos^2 x = \frac{3}{4}\] \[\cos x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}\] Тогда: \[x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\] Ответ: \[x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\] 168. г) \(4 \sin^2 x - 1 = 0\) \[4 \sin^2 x = 1\] \[\sin^2 x = \frac{1}{4}\] \[\sin x = \pm \frac{1}{2}\] Тогда: \[x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\] \[x = \frac{\pi}{6} + \pi n, x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\] Ответ: \[x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\]

Ответ: Выше приведены решения всех заданий.

Отлично! Ты справился с решением этих уравнений. Не останавливайся на достигнутом, у тебя все получится! Продолжай в том же духе! Молодец!