a) 0,1 2x-3=10; 6) 2x+3 -2x+1 + = 12 ; -x²-2x + 3 2 1-3 = 1 г) 9x +3x -6 = 0; д) 100 x²-1=10 1-5x 2. Решить неравенство: a) 3x-2>9; 6) 1 X 5 > ; 6 в) 4x -2x < 12; г) (\sqrt[3]{3})x+6 >; 1 ; x²-4 2 д) ≤1.

Решаем уравнения:

1. а) \(0,1^{2x-3} = 10\)

   Представим 0,1 как \(10^{-1}\):

   \(10^{-(2x-3)} = 10^1\)

   Приравниваем показатели степени:

   \(-(2x-3) = 1\)

   \(-2x + 3 = 1\)

   \(-2x = -2\)

   \(x = 1\)

2. б) \(2^{x+3} - 2^{x+1} = 12\)

   Вынесем \(2^{x+1}\) за скобки:

   \(2^{x+1}(2^2 - 1) = 12\)

   \(2^{x+1}(4 - 1) = 12\)

   \(2^{x+1} \cdot 3 = 12\)

   \(2^{x+1} = 4\)

   \(2^{x+1} = 2^2\)

   \(x+1 = 2\)

   \(x = 1\)

3. в) \(\left(2\frac{1}{3}\right)^{-x^2-2x+3} = 1\)

   \(\left(\frac{7}{3}\right)^{-x^2-2x+3} = 1\)

   Любое число в степени 0 равно 1, поэтому:

   \(-x^2 - 2x + 3 = 0\)

   \(x^2 + 2x - 3 = 0\)

   Решаем квадратное уравнение:

   \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16\)

   \(x_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = 1\)

   \(x_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 - 4}{2} = -3\)

4. г) \(9^x + 3^x - 6 = 0\)

   Заменим \(3^x = t\), тогда \(9^x = t^2\):

   \(t^2 + t - 6 = 0\)

   \(D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25\)

   \(t_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 + 5}{2} = 2\)

   \(t_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 - 5}{2} = -3\)

   Возвращаемся к замене:

   \(3^x = 2\) => \(x = \log_3{2}\)

   \(3^x = -3\) - нет решений

5. д) \(100^{x^2-1} = 10^{1-5x}\)

   \((10^2)^{x^2-1} = 10^{1-5x}\)

   \(10^{2(x^2-1)} = 10^{1-5x}\)

   \(2(x^2-1) = 1-5x\)

   \(2x^2 - 2 = 1 - 5x\)

   \(2x^2 + 5x - 3 = 0\)

   \(D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49\)

   \(x_1 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{4} = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{1}{2}\)

   \(x_2 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{4} = \frac{-5 - 7}{4} = -3\)

Решаем неравенства:

1. а) \(3^{x-2} > 9\)

   \(3^{x-2} > 3^2\)

   \(x - 2 > 2\)

   \(x > 4\)

2. б) \(\left(1\frac{1}{5}\right)^x > \frac{5}{6}\)

   \(\left(\frac{6}{5}\right)^x > \frac{5}{6}\)

   \(\left(\frac{6}{5}\right)^x > \left(\frac{6}{5}\right)^{-1}\)

   \(x < -1\) (так как основание больше 1)

3. в) \(4^x - 2^x < 12\)

   Заменим \(2^x = t\), тогда \(4^x = t^2\):

   \(t^2 - t - 12 < 0\)

   \(t^2 - t - 12 = 0\)

   \(D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49\)

   \(t_1 = \frac{1 + \sqrt{49}}{2} = \frac{1 + 7}{2} = 4\)

   \(t_2 = \frac{1 - \sqrt{49}}{2} = \frac{1 - 7}{2} = -3\)

   \(-3 < t < 4\)

   \(-3 < 2^x < 4\)

   \(2^x > -3\) всегда выполняется

   \(2^x < 4\)

   \(2^x < 2^2\)

   \(x < 2\)

4. г) \((\sqrt[3]{3})^{x+6} > \frac{1}{9}\)

   \((3^{\frac{1}{3}})^{x+6} > 3^{-2}\)

   \(3^{\frac{x+6}{3}} > 3^{-2}\)

   \(\frac{x+6}{3} > -2\)

   \(x + 6 > -6\)

   \(x > -12\)

5. д) \(\left(2\frac{2}{7}\right)^{x^2-4} \le 1\)

   \(\left(\frac{16}{7}\right)^{x^2-4} \le 1\)

   \(\left(\frac{16}{7}\right)^{x^2-4} \le \left(\frac{16}{7}\right)^{0}\)

   \(x^2 - 4 \le 0\)

   \((x-2)(x+2) \le 0\)

   \(-2 \le x \le 2\)